Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

78 79
Определённый интеграл
Тогда
dy
y
dS
)1(4
1
1
−
+=
и
,
4
5
2
4
1
12
)1(4
1
1122
dyydyy
dy
y
ydSxdL
y
−π=+−π=
=
−
+−π=π=
где
]1;5[−∈y
. Воспользуемся теперь формулой (65) и получим
3
62
)
8
125
8
1
(
3
4
2
3
)
4
5
(
2
4
5
2
1
5
2
3
1
5
π
=−
π
−=
−
π−=−π=
−
−
∫
y
dyyL
y
.
Пример 2.5.3. Найти площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг оси
Ox
дуги кривой
3
x
ey
−
=
,
0≥x
(рис. 50).
Решение. Для нахождения
бесконечно малого элемента ис-
комой величины воспользуемся
формулой (61), а для нахождения
dS
– формулой (58). Выразим
из уравнения кривой x:
3
ln
x
y −=
,
yx ln3−=
.
Найдём
y
x
3
−=
′
,
а затем
dy
y
dS
2
9
1 +=
,
где
]1;0(∈y
. Тогда
dyydy
y
ydSydL
x
92
9
122
2
2
+π=+π=π=
.
Воспользуемся теперь формулой (63) и получим
∫
+π=
1
0
2
92 dyyL
x
.
Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой (25),
которая найдена в примере 7.11. Тогда
∫
+π=
1
0
2
92 dyyL
x
=++++π=
1
0
22
)9ln
2
9
9
2
(2 yyy
y
101
ln910)3ln9)101ln(910(
+
π+π=−++π=
.
Пример 2.5.4. Вычислить площадь поверхности, которая полу-
чается от вращения вокруг оси
Oy
дуги параболы
)1(2
2
−= xy
, отсе-е-
чённой прямыми
1,0 == yy
(рис. 51).
Решение. Для нахождения
бесконечно малого элемента искомой
величины воспользуемся формулой
(64). Найдём сначала
1
2
2
+=
y
x
,
а затем
yx =
′
.
Тогда
dyydS
2
1 +=
и
( )
,111)11(
1)2(1)1
2
(22
2
3
222
222
2
dyyydyyy
dyyydyy
y
dSxdL
y
+++π=+++π=
=++π=++π=π=
y
Рис. 50
1
3
x
ey
−
=
xaO
y
)1(2
2
−= xy
Рис. 51
xO
2
3
1
1
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы