Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

82 83
Определённый интеграл
∑
=
=
n
i
iil
dmI
1
2
,
а
∑
=
±=
n
i
iil
dmM
1
, (67)
причём в формуле (67) для точек, расположенных по разные стороны
от оси
l
, выбираются разные знаки.
Пусть теперь масса сплошным образом распределена по плоской
пластине. Тогда вместо сумм рассматривают интегралы. Будем считать,
что масса распределена по плоской фигуре равномерно. Для простоты
считаем плотность распределения массы равной единице. Тогда масса
любой части фигуры равна её площади.
Рассмотрим две показательные задачи.
1. Найти статический момент
x
M
и момент инерции
x
I
прямоу-у-
гольника с основанием a и высотой
h
относительно его основания
(рис. 53).
Выделим внутри прямоу-
гольника полоску высотой
dy
и шириной a. Расстояние этой по-
лоски до оси
Ox
равно
y
,
],0[ hy ∈
. Масса выделенногоо
элемента равна его площади
ady
.
Вычислим статический момент и
момент инерции выделенного
элемента относительно оси
Ox
:
yadydM
x
,
adyydI
x
2
=
.
Тогда
2
0
2
1
ahyadyM
h
x
==
∫
, (68)
3
0
2
3
1
ahadyyI
h
x
==
∫
. (69)
2. Найти статические моменты
x
M
,
y
M
и моменты инерции
x
I
,
y
I
криволинейной трапеции, ограниченной линиями
,ax =
,bx =
0=y
,
)(xfy =
, относительно коор-
динатных осей.
А. Ищем моменты относитель-
но оси
Ox
(рис. 54). Выделим внут-
ри трапеции криволинейную полос-
ку, опирающуюся на отрезок
],[ dxxx +
. Будем вычислять беско-
нечно малые элементы моментов по
формулам (68)–(69) как моменты
прямоугольной полоски с основани-
ем
dx
и переменной высотой
)(xf
.
Тогда
dxxfdM
x
2
))((
2
1
=
, (70)
dxxfdI
x
3
))((
3
1
=
. (71)
В формулах (70)–(71) мы, пренебрегая бесконечно малыми вели-
чинами более высокого порядка малости, чем dx, отождествили криво-
линейную полоску с прямоугольником высотой
)(xf
. Проинтегриру-
ем полученные равенства при изменении x от a до b и получим
∫
=
b
a
x
dxxfM
2
))((
2
1
, (72)
∫
=
b
a
x
dxxfI
3
))((
3
1
. (73)
Рис. 53
x
y
h
dyy +
y
a
dy
O
Рис. 54
xbdxxxa +
O
y
y = f (x)
)(xf
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы