Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

80 81
Определённый интеграл
где
]1;0[∈y
. Воспользуемся теперь формулой (65) и получим
(
)
+++π=
∫∫
1
0
2
1
0
3
2
11 dyydyyL
y
.
Рассмотрим отдельно
∫
+= dyyI
2
1
1
и
∫
+= dyyI
3
2
3
1
. Для
вычисления
3
I
применим приём интегрирования по частям, для тогоо
чтобы свести его к себе самому. Положим
dydvyu =
+= ,1
3
2
. Най-
дём
yvyydu =+= ,2)1(
2
3
2
1
2
. Получим
=+−
+=
+=
∫∫
dyyyyydyyI
22
3
2
3
2
3
1311
=+−+−
+=
∫
dyyyyy
22
3
2
1)11(31
=++
+−
+=
∫∫
dyydyyyy
2
3
2
3
2
13131
13
3
2
331 IIyy +−
+=
.
Получили уравнение относительно искомого интеграла
3
I
:
13
3
2
3
331 IIyyI +−
+=
.
Решим его и получим
1
3
2
3
4
3
1
4
1
IyyI +
+=
.
Из примера 7.11 (формула (25)) известно, что
∫
=+= dyyI
2
1
1
Cyyy
y
+++++ 1ln
2
1
1
2
22
.
Тогда
( )
( )
( ) ( )
(
)
)).21ln(7211(
8
)1ln
2
1
1
2
(
4
7
1
4
1
4
7
1
4
1
4
3
1
4
1
11
1
0
22
3
2
1
0
1
3
2
1
0
11
3
2
1
0
13
1
0
2
1
0
3
2
++
π
=
=
++++++π=
=
++π=
+++π=
=+π=
+++π=
∫∫
yyy
y
yy
IyyIIyy
IIdyydyyL
y
2.3. Механические приложения определённого интеграла
Пусть имеется материальная точка
массой
m
. Зададим ось
l
.
Моментом инерции точки относительно оси называется произ-
ведение её массы на квадрат расстояния до оси:
2
mdI
l
=
(рис. 52).
Статическим моментом точки
относительно оси
l
называется про-
изведение её массы на расстояние от
точки до оси, взятое с каким-либо зна-
ком:
mdM
l
=
или
mdM
l
−=
в зависимости от договорённости, с
какой стороны оси l материальным точкам приписывается положи-
тельный статический момент, а с какой – отрицательный.
Пусть задана система, состоящая из конечного числа n матери-
альных точек
)(i
M
с массами
i
m
, отстоящих от оси
l
на расстоянии
i
d
.
Тогда
Рис. 52
l
M
d
2
π
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы