Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

84 85
Определённый интеграл
Б. Ищем статический момент
и момент инерции относительно оси
Oy
(рис. 55). Выделим внутри тра-
пец ии ту же полоску, что и в п. А. За
бесконечно малый элемент массы
этой полоски примем массу прямо-
угольника с основанием
],[ dxxx +
и высотой
)(xf
. В силу сделанногоо
ранее предположения масса этого
прямоугольника равна его площади.
Расстояние любой точки этого
прямоугольника до оси
Oy
равно x.
Тогда
dxxxfdM
y
)(
=
, (74)
dxxfxdI
y
)(
2
=
. (75)
Интегрируем равенства (74)–(75) при изменении переменной x от
a до b и получим
∫
=
b
a
y
dxxfxM )(
, (76)
∫
=
b
a
y
dxxfxI )(
2
. (77)
Знание статических моментов плоской фигуры относительно ко-
ординатных осей позволяет определить координаты центра тяжес-
ти этой фигуры.
Известно, что величина статических моментов не изменится, если
предположить, что вся масса фигуры сосредоточена в центре тяжести
этой фигуры.
Пусть
),(
cc
yxC
– центр тяжести фигуры массой m, а
x
M
,
y
M
–
её статические моменты относительно координатных осей. Тогда
,, mxMmyM
cycx
==
откуда
.,
m
M
y
m
M
x
x
c
y
c
==
(78)
2.4. Геометрические приложения определённого интеграла
в полярной системе координат
Пусть задана полярная система
координат с полюсом
O
и полярной
осью r (рис. 56). Тогда любая точка
M
на плоскости имеет в этой системе две
координаты: полярный радиус r
)0( ≥r
, равный длине отрезка
, и
полярный угол
ϕ
, на который нужно
повернуть полярную ось до совмеще-
ния с точкой M. Обычно договариваются, что
)2,0[ π∈ϕ
. Однако этоо
ограничение не является универсальным. Из рис. 56 видно, что
ϕ=
ϕ=
sin
;cos
ry
rx
(79)
и
=ϕ
+=
,tg
;
222
x
y
yxr
(80)
причём для определения угла
ϕ
следует учитывать знаки
x
и
y
. Фор-
мулы (79) и (80) устанавливают связь между полярными и декартовы-
ми координатами точки
M
для случая, когда полярная ось
r
совпадает
с осью
Ox
.
2.4.1. Вычисление площади
Рассмотрим криволинейный сектор, ограниченный лучами
)(, β<αβ=ϕα=ϕ
и кривой
)(ϕ= rr
(рис. 57). Вычислим его площадь.
Глава 2. Приложения определённого интеграла
Рис. 55
xbdxxxa +
O
y
y = f (x)
)(xf
x
Рис. 56
O
(
y
)
)(xr
M
ϕ
r
y
x
y
x

Страницы