Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

86 87
Определённый интеграл
α
β
α=ϕ
β=ϕ
)(xrO
Рис. 57
)(ϕ= rr
ϕ
ϕd
Для этого выделим элементарный криволинейный сектор, распо-
ложенный между лучами с полярным углом
]),[( βα∈ϕϕ
и полярным
углом
ϕ+ϕ d
. За бесконечно малый элемент площади
dS
примем пло-
щадь кругового сектора переменного радиуса
)(ϕr
с центральным уг-
лом
ϕd
. Тогда
ϕϕ= drdS )(
2
1
2
.
Проинтегрируем полученное равенство при изменении
ϕ
от
α
до
β
и получим
.)(
2
1
2
∫
β
α
ϕϕ= drS
(81)
Пример 4.1.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ей
ϕ= 3cosr
, заданной в полярных координатах.
Решение. Заданная в условии линия является трёхлепестковой ро-
зой (рис. 58).
Так как
0>r
, то, решая неравенство
03cos >ϕ
,
]2;0[ π∈ϕ
, най-
дём те значения
ϕ
, для которых она определена. Она определена для
значений
].2;
6
11
[]
2
3
;
6
7
[]
6
5
;
2
[]
6
;0[ π
π
∪
ππ
∪
ππ
∪
π
∈ϕ
Ограниченная ею фигура состоит из трёх фигур («лепестков»)
с одинаковой площадью. Более того, каждый из трёх «лепестков» име-
ет ось симметрии, делящую фигуру на две равновеликие части. Так
что достаточно вычислить площадь одной из половинок «лепестка»
и умножить её на 6. Рассмотрим половину «лепестка», ограниченную
лучами
6
,0
π
=ϕ=ϕ
. Тогда согласно формуле (81) получим:
.
4
)6sin
6
1
(
2
3
)6cos1(
2
3
3cos
2
1
6
6
0
6
0
6
0
2
π
=ϕ+ϕ=ϕϕ+=ϕϕ⋅=
π
ππ
∫∫
ddS
π2;0
3
π
2
π
6
5π
π
6
7π
3
4π
3
5π
6
11π
6
π
2
3π
1
3
2π
Рис. 58
ϕ= 3cosr
Пример 4.1.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ей
ϕ+= sin1r
, заданной в полярных координатах.
Решение. Заданная в условии линия является кардиоидой (рис. 59).
Фигура симметрична относительно луча
2
π
=ϕ
(оси
Oy
). Будем
вычислять площадь одной из половинок кардиоиды, заключённой меж-
ду лучами
2
,
2
π
=ϕ
π
−=ϕ
, и умножать её на 2. Применяя формулу (81),
получим:
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы