Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

64 65
Определённый интеграл
В. Будем теперь вычислять объём тела вращения с полостью. Рас-
смотрим плоскую фигуру, ограниченную линиями
,, bxax ==
)(),(
21
xfyxfy
==
(
)()(0,
21
xfxfba ≤≤<
). Пусть тело получено вра-
щением вокруг оси
Ox
этой плоской фигуры, заштрихованной на рис. 36.
)(
1
xfy =
)(
2
xfy =
dx
O
y
x
a
b
Рис. 36
Бесконечно малый элемент
x
dV
искомого объёма вычисляется
как объём цилиндрического тела высотой
dx
, в основании которогоо
кольцо площадью
))()((
2
1
2
2
xfxf −π
. Тогда
dxxfxfdV
x
))()((
2
1
2
2
−π=
; (49)
∫
−π=
b
a
x
dxxfxfV ))()((
2
1
2
2
. (50)
Пусть тело получено вращением вокруг оси
Oy
фигуры, ограни-
ченной линиями
)(),(,,
21
yxyxdycy ϕ=ϕ===
, где 0,dc
ϕ≤<
)()(
21
yy ϕ≤ϕ≤
(на рис. 37 эта плоская фигура заштрихована).
Бесконечно малый элемент
y
dV
вычисляется как объём цилинд-
рического тела высотой
dy
и площадью основания, равной площади
кольца с внутренним радиусом
)(
1
y
ϕ
и внешним радиусом
)(
2
yϕ
. Тогдада
dyyydV
y
))()((
2
1
2
2
ϕ−ϕπ=
. (51)
Рис. 37
dy
d
y
x
)(
1
yx ϕ=
)(
2
yx ϕ=
c
O
Интегрируя полученный результат по переменной
y
от
c
до
d
,
получим
∫
ϕ−ϕπ=
d
c
y
dyyyV ))()((
2
1
2
2
. (52)
Пример 2.3.6. Вычислить объём тела, полученного вращением
вокруг оси
Ox
плоской фигуры, ограниченной линиями
xy ;cos2=
xy cos; =
,
22
π
≤≤
π
− x
.
Решение. Построим заданную плоскую фигуру (рис. 38). Заме-
тим, что ось
Oy
является осью симметрии этой фигуры. Будем вра-
щать фигуру вокруг оси
Ox
. Получим тело вращения с полостью. Рас-
сечём его плоскостью, перпендикулярной оси
Ox
. В сечении получим
кольцо с внутренним радиусом
xy cos=
и внешним радиусомм
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы