Определённый интеграл. Морозова Л.Е - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

92 93
Определённый интеграл
].2;
4
7
[]
4
5
;
4
3
[]
4
;0[ π
π
∪
ππ
∪
π
∈ϕ
При этом в силу периодичности функции
ϕ2cos
лемниската обла-
дает симметрией относительно лучей
3,2,1,0,
2
=
π
=ϕ kk
(см. рис. 62).
Чтобы получить площадь заданной фигуры, достаточно найти пло-
щадь её части, заключённой между лучами
0=ϕ
и
4
π
=ϕ
, и умножить
полученный результат на 4. Тогда согласно формуле (81) получим:
.1
2
sin2sin2cos
2
1
4
4
0
4
0
=
π
=ϕ=ϕϕ⋅=
π
π
∫
dS
Пример 4.1.6. Вычислить площадь меньшей из фигур, ограни-
ченных линиями, заданными в полярной системе координат уравнени-
ями
ϕ=
ϕ
= cos8,
cos
2
rr
.
Решение. Линия
ϕ
=
cos
2
r
(рис. 63) очевидным образом является
прямой
2=x
(см. формулы (77) – связь полярных и декартовых коор-
динат). Линия
ϕ= cos8r
представляет собой окружность с центромм
в точке с полярными координатами
4,0 ==ϕ r
и радиусом 4. Задан-
ная фигура ограничена двумя различными линиями: прямой и окруж-
ностью. Найдём точку их пересечения. Для этого решим уравнение
].
2
;0[,cos8
cos
2
π
∈ϕϕ=
ϕ
Его решением является
3
π
=ϕ
.
π2;0
3
π
3
5π
2
3π
O
ϕ= cos8r
ϕ
=
cos
2
r
Рис. 63
2
π
r87654321
В силу симметрии заданной фигуры будем вычислять площадь её
половины, расположенной в первой четверти полярной системы коор-
динат и заштрихованной на рис. 63, и умножать полученный результат
на 2. Заштрихованная фигура ограничена прямой
ϕ
=
cos
2
r
при изме-
нении переменной
ϕ
от 0 до
3
π
, а на участке е
]
2
;
3
[
ππ
∈ϕ
– окружностью
ϕ= cos8r
. Воспользуемся теперь формулой (81) и получим:
=ϕϕ+ϕ
ϕ
=
∫∫
π
π
π
2
3
2
3
0
2
)cos8(
2
1
cos
2
2
1
2
1
ddS
=ϕ+ϕ+ϕ=ϕϕ++
ϕ
ϕ
=
π
π
π
π
π
π
∫∫
2
3
3
0
2
3
3
0
2
)2sin
2
1
(16tg2)2cos1(16
cos
2 d
d
Глава 2. Приложения определённого интеграла

Страницы