Составители:
Рубрика:
94 95
Определённый интеграл
.32
3
8
2
3
8
3
8
32)
3
2
sin
2
1
32
(16
3
tg2 −
π
=−
π
+=
π
−
π
−
π
+
π
=
34
3
16
−
π
=S
.
Пример 4.1.7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини-
ей, заданной в полярной системе координат уравнением
ϕ+= cos23r
.
Решение. Заданная фигура изображена на рис. 64.
π2;0
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π
π
6
7π
4
5π
3
4π
3
5π
4
7π
2
3π
Рис. 64
6
π
6
11π
r54321
ϕ+= cos23r
Функция
ϕ+= cos23r
определена для всех
]2;0[ π∈ϕ
. Площадь
вычислим по формуле (81). Тогда
=ϕϕ+ϕ+=ϕϕ+=
∫∫
ππ 2
0
2
2
0
2
)cos4cos129(
2
1
)cos23(
2
1
ddS
=ϕϕ++ϕ+=
∫
π2
0
))2cos1(2cos129(
2
1
d
=ϕϕ+ϕ+=
∫
π2
0
)2cos2cos1211(
2
1
d
π=ϕ+ϕ+ϕ=
π
11)2sinsin1211(
2
1
2
0
.
2.4.2. Вычисление длины дуги
Пусть требуется найти длину дуги кривой
)(ϕ= rr
, заключённой
между лучами
)(, β<αβ=ϕα=ϕ
(см. рис. 57). Для вычисления бес-
конечно малого элемента длины дуги воспользуемся формулой (56).
Используем теперь формулы (79), связывающие полярные координаты
точки на рассматриваемой дуге
)(ϕ= rr
с декартовыми координатами:
ϕϕ=
ϕϕ=
.sin)(
,cos)(
ry
rx
Тогда
ϕϕϕ+ϕϕ
′
=
ϕϕϕ−ϕϕ
′
=
drrdy
drrdx
)cos)(sin)((
,)sin)(cos)((
и
( )
.)()())(()()(
22222
ϕϕ+ϕ
′
=+ drrdydx
Следовательно,
ϕ
′
+=
ϕ
drrdS
22
)(
, (82)
а
∫
β
α
ϕ
ϕ
′
+= drrS
22
)(
. (83)
Пример 4.2.1. Найти длину дуги кардиоиды, заданной в поляр-
ной системе координат уравнением
)cos1(4 ϕ+=r
.
Решение. Заданная кривая изображена на рис. 65. Учтём, что
кардиоида симметрична относительно полярной оси. Для того чтобы
Глава 2. Приложения определённого интеграла
