ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
Комментарий к эргодической гипотезе
Микроскопические параметры, характеризующие отдельные молекулы системы,
постоянно меняются во времени случайным образом. Можно ли рассчитать средние
значения этих параметров с помощью применения формальной процедуры? В качестве
примера рассмотрим усреднение квадрата координаты определенной частицы, x
2
. По
определению среднего по времени следует записать:
∫
∞→
=
T
T
t
dttx
T
x
0
22
)(
1
lim
. Изменение
координаты будем рассматривать как результат перехода частицы из одной ячейки
конфигурационного пространства в другую:
∫
∑
=
Δ=
T
m
i
ii
txdttx
0
1
22
)(,
где m – число скачков в течении времени T:
∑
=
=Δ
m
i
i
Tt
1
.
При
T→∞ частица много раз попадает в каждую ячейку, за время T в j-ой ячейке она
проведет время
∑
Δ=
ij
tT
, где сумма берется по всем i, соответствующим j-ой ячейке;
∑
=
=
N
j
j
TT
1
; с учетом вышеизложенного
∑∑
=
∞→
==
N
jj
jjjj
T
t
xPxT
T
x
1
222
~
1
lim
, где
Статистические постулаты
Постулат равновероятности
доступных микроскопических
состояний изолированной
системы в состоянии
термодинамического
равновесия:
І
. Если изолированная
статистическая система
находится в состоянии
термодинамического равновесия,
то все доступные ей
микроскопические состояния
равновероятны.
ІІ. Если микроскопические
состояния изолированной
статистической системы не
равновероятны, то система
не
находится в состоянии
термодинамического равновесия,
но
на пути к нему.
Эргодическая гипотеза:
Вероятность по ансамблю равна
вероятности по времени:
jtja
PP
~
=
Среднее по ансамблю равно
среднему по времени:
ta
xx
22
=
20
T
T
P
j
T
jt
∞→
= lim
~
- это выражение формально определяет вероятность по времени. Однако
рассчитать эту вероятность невозможно, поскольку невозможно хронометрировать
«судьбу» незримой частицы. Возникают вопросы:
• Равна ли вероятность по времени вероятности по ансамблю?
• Допустимо ли заменить «невозможную» процедуру усреднения по времени на
процедуру усреднения по ансамблю?
Эргодическая гипотеза отвечает на эти вопросы утвердительно. Впервые гипотеза была
высказана в 1871г. Л.Больцманом, затем Дж.Максвелл в 1879г. проанализировал
возможность замены средних по времени средними по ансамблю.
Приложение
2.4
Элементы теории вероятности
Случайное событие –
событие, которое при осуществлении совокупности
условий S может либо произойти, либо не произойти.
Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении
события А, или события В, или обоих этих событий.
Суммой нескольких событий
называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном
появлении (совмещении) этих событий.
Произведением нескольких событий называют
событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
События независимы, если вероятность наступления одного из них не зависит от того,
наступило или не наступило другое событие.
События являются взаимно исключающими, если вероятность наступления одного
события исключает наступление другого.
Аксиоматическое определение вероятности:
Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число
Р(А). Это число называется вероятностью события А.
Частотное определение вероятности.
Вероятность – отношение числа испытаний N
A
, в
которых событие A произошло, к общему числу
испытаний N, причем
∞
→N
.
()
N
N
AP
A
N ∞→
= lim
1)(0
≤
≤
AP
Вероятность
достоверного события
равна 1:
1)( ===
N
N
N
N
AP
A
, где
NN
A
=
Вероятность
невозможного события
равна 0:
0
0
)( ===
N
N
N
AP
A
, где
0=
A
N
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
