ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
23
ТЕМА 3
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЕГО ПРЕДЕЛЬНЫЕ
СЛУЧАИ В ОПИСАНИИ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СИСТЕМ
При описании статистических систем нас, конечно же, интересует пространственное
распределение частиц. Наличие каких-либо силовых полей или их отсутствие определяет
различные законы распределения вероятностей. Начнем исследование с простейшего
случая – равновесного пространственного распределения частиц классического
идеального газа в отсутствии силовых полей. Наша задача получить закон распределения
вероятностей на основе базового определения вероятности
макроскопического состояния
изолированной системы (см.2.3).
3.1
Схема вывода закона распределения вероятностей
Рассмотрим изолированную систему, представляющую классический идеальный газ
(рис.1):
V – объем, занимаемый газом; n–число частиц, находящихся в нем;
3
d
V
N =
- число ячеек, которые могут занимать частицы, N>>n;
V
1
– некоторый фиксированный объем, часть V, V
1
≤V, это
мысленно выделенное подпространство, не имеющее
материальных границ;
3
1
1
d
V
N =
- число ячеек в объеме V
1
; в объеме V
1
может находиться
Рис.1 случайное число частиц
m (m=0,1,2…n), N
1
≥m.
Описание системы
Актуальные свойства модели системы
• Пространство, занимаемое газом однородно и изотропно (нет выделенных
мест и направлений);
• Частицы отличимы друг от друга (например, пронумерованы).
Последнее неожиданное допущение фиксирует факт отсутствия
пространственной конкуренции между молекулами классического идеального
газа (
N>>n). Предположение о различимости частиц означает, что два
микросостояния, в которых частицами заняты одни и те же ячейки, различны,
если, например, две частицы поменялись местами в каких-то ячейках. Следует
обратить внимание на то, что рассматриваемые частицы совершенно одинаковы,
поэтому свойства двух микросостояний, в которых частицы обменялись местами,
должны быть абсолютно идентичными
, тем не менее, мы считаем эти
микросостояния различными, поскольку системе требуется определенное время
для того, чтобы пройти эти «одинаковые» микросостояния.
Различимость частиц в дальнейшем заставит нас выбрать «нужные» формулы
комбинаторики для подсчета числа микросостояний системы.
24
Постановка задачи
• По определению вероятность макроскопического состояния системы:
0
1
1
),(
),(
Γ
Γ
=
mV
mVP
,
• Полное число микросостояний
0
Γ
рассчитаем, как число размещений n
различимых частиц по N ячейкам:
)!(
!
0
nN
N
−
=Γ
,
• Число размещений m частиц в объеме V
1
по N
1
ячейкам:
)!(
!
),(
1
1
11
mN
N
mV
−
=
γ
,
• Число состояний, доступных для n-m остальных частиц в объеме V-V
1
:
))!((
)!(
),(
1
1
12
mnNN
NN
mnVV
−−−
−
=−−
γ
. Каждое из микросостояний γ
1
комбинирует со всеми микросостояниями
γ
2
в силу их независимости:
),(
1
mVΓ ~
21
γγ
⋅ ;
• Поскольку частицы различимы, то фиксированное число молекул m,
определяющее макросостояние, можно выбрать не одним способом.
Количество способов – это число сочетаний, которыми можно выбрать
m
различных частиц из
n различных частиц:
)!(!
!
mnm
n
C
m
n
−
=
;
• Окончательно
211
),(
γγ
m
n
CmV =Γ
- общее число микросостояний, посредством
которых реализуется интересующее нас макросостояние.
• Ответ:
!)]!([)!(
)!()!(!
)!(!
!
),(
),(
11
11
0
1
1
NmnNNnN
nNNNN
mnm
n
mV
mVP
−−−−
−−
⋅
−
=
Γ
Γ
=
, (3.1)
Трудно представить, что такая громоздкая формула может найти хоть какое-
нибудь применение. Будем работать дальше, в надежде на happy end!
Какова вероятность P(V
1
,m) макроскопического состояния системы,
при котором в объеме V
1
находится m частиц?
Вывод закона
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
