Общая физика. Молекулярная физика: Структурированный конспект лекций. Ч.1. Москвич О.И - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СФУ | Красноярск

Составители: 

Рубрика: 

41
Вывод уравнения
• Изобразим рассматриваемую систему на схематическом рисунке( рис.6):
Рис.6
Обозначим направление перпендикулярное стенке сосуда как ось Х. Тогда
вклад в давление будут вносить только «иксовые» составляющие импульса
молекул. Мысленно выделяем объем V в виде цилиндра, где площадь основания
цилиндра s=1 м
2
, а длина цилиндра равна составляющей скорости
)(+
x
v , где (+)
означает направление
по оси Х, т.е. к стенке. Рассматриваем именно такой объем
(с длиной цилиндра
)(+
x
v ) потому, что только молекулы, находящиеся в этом
цилиндре могут за 1 секунду достигнуть стенки сосуда.
• Переданный стенке при одном столкновении с молекулой импульс:
)(
2
+
=Δ
x
mvp ,
• Обозначим вклад в давление в направлении оси Х, который дает группа
молекул, или «команда», с некоторой фиксированной скоростью, точнее со
скоростями в интервале
[
]
)()()(
,
+++
+
xxx
dvvv - dP
x
, тогда
)(
+
⋅Δ=
xx
vdnpdP ,
где )(
+
x
vdn - число молекул со скоростями
+
x
v в выбранном объеме V(
+
x
v )
(см. рис.6);
• )()(
~
)(
+++
⋅=
xxx
vVvndvdn , где )(
~
+
x
vnd - концентрация частиц, обладающих
скоростями в интервале
[
]
)()()(
,
+++
+
xxx
dvvv ;
+++
=
xxx
dvvfnvnd )()(
~
0
,
++++
=⋅=⋅=
xxxx
vvsvvV 1)( ,
здесь
∫
+∞
∞−
= ndn
~
0
- равновесная концентрация молекул в объеме V, )(
+
x
vf -
одномерная плотность вероятности распределения Максвелла.
• Таким образом,
+++
=
xxxx
dvvvfmndP
2
0
))((2 (6.1);
42
Вывод уравнения
Основное уравнение кинетической теории идеальных газов
Выразим в (6.2) температуру через среднюю кинетическую энергию движения
молекул (см. тема 5):
k
T
k
ε
3
2
=
,
подставим полученное выражение в (6.2). Получим:
k
np
ε
0
3
2
=
(6.3)
–
основное уравнение кинетической теории идеальных газов
(основное уравнение МКТ)
.
• Полученное уравнение (6.1) интегрируем по области значений
[]
+∞∈
+
,0
x
v ,
учитывая, что летящие в отрицательном направлении молекулы
[]
0,∞−∈
−
x
v не
сталкиваются с данной стенкой сосуда, следовательно, не вносят вклад в
давление:
kTndvve
kT
m
mndvvvfmnP
xx
kT
vm
xxxx
x
∫∫
∞∞
++
−
+++
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
+
0
0
0
2
2
)(
2
1
0
2
0
)(
2
2))((2
2
π
Проведя подобные расчеты для
P
y
, P
z
, получим такой же результат. Как и
следовало ожидать, в изотропной среде давление газа изотропно:
kTnPPP
zyx 0
===
(6.2)
–
закон Паскаля

Страницы