ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
37
При выводе распределения сам Максвелл использовал другой путь, исходя только из
двух предположений, а именно:
1)
пространство изотропно,
2)
частиц очень много и они беспрерывно сталкиваются.
Он доказал, что одномерное распределение плотностей вероятностей f(v
x
), f(v
y
), f(v
z
)
имеет вид, который в теории вероятностей называется распределением Гаусса.
Кроме того, Максвелл предположил, что попадания молекулы в скоростные интервалы (v
x
,
v
x
+dv
x
), (v
y
, v
y
+dv
y
), (v
z
, v
z
+dv
z
) - это события независимые(см.2.4), поэтому, определив
распределение по компонентам скоростей, можно применить теорему умножения
вероятностей для независимых событий (см.2.4.2) и в результате получить распределение
по скоростям в декартовой системе координат. Формальный переход из декартовой
системы координат в сферическую решает вопрос о распределении по абсолютным
скоростям. Правильность предположения Максвелла была доказана в дальнейших
исследованиях как
самого Максвелла, так и других ученых.
5.2
Графическое представление распределения Максвелла. Характерные
скорости распределения
Широкое применение при решении задач имеют плотности вероятности распределения
Максвелла по абсолютной скорости и по отдельным картезианским компонентам:
2
2
2
3
4
2
)(
2
ve
kT
m
vf
kT
mv
π
π
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
,
kT
mv
x
x
e
kT
m
vf
2
2
1
2
2
)(
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
π
.
Сферическая система координат:
dvve
kT
m
vdP
kT
mv
2
2
2
3
4
2
)(
2
π
π
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
(5.1);
декартовая система координат:
zyx
kT
vvvm
zyx
dvdvdve
kT
m
vvvdP
zyx
2
)(
2
3
222
2
),,(
++
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
π
(5.2);
цилиндрическая система координат:
⊥⊥
+
−
⊥
⊥
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= dvdvve
kT
m
vvdP
kT
vvm
CC
C
π
π
2
2
),(
2
)(
2
3
22
(5.3).
В ряде задач удобно использовать распределение Максвелла по энергиям
молекул, которое имеет следующий вид:
k
kT
kk
de
kT
dP
k
εε
π
ε
ε
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
2
3
12
)(
(5.4).
Приведенные выше формулы распределения Максвелла позволяют находить
средние значения различных микроскопических параметров, зависящих от
скорости или ее отдельных компонент, в соответствии с общей процедурой
усреднения (см.2.4.4).
Распределение Максвелла
(рабочие формулы)
38
Вид плотностей вероятности показан на рис.5: а) примерный вид одномерной
плотности вероятности
f(v
x
); б) примерный вид плотностей вероятности f(v) распределения
Максвелла по абсолютным скоростям для различных температур.
а) б)
Рис.5
С увеличением температуры максимум функции
f(v) смещается в сторону больших
скоростей, а его величина уменьшается, при этом площадь под кривыми остается равной
единице.
На семинарских занятиях и при выполнении контрольных заданий вы встретитесь с
множеством разнообразных задач, которые решаются с помощью распределения
Максвелла. В частности получаются часто используемые результаты:
kT
mv
mv
mv
z
y
x
2
1
222
2
2
2
===
,
k
kT
mv
ε
==
2
3
2
2
(!)
Характерные скорости распределения Максвелла
Наивероятнейшая
скорость
v
H
Средняя скорость v
Средняя квадратичная
скорость
2
v
По определению:
∫
∞
==
0
22
3
)(
m
kT
vdPvv
;
m
kT
v
3
2
=
По определению
среднего (см.2.4.4):
∫
∞
==
0
8
)(
m
kT
vvdPv
π
Соответствует максимуму
функции
f(v) (см.рис.5),
определяется из условия
0
)(
=
dv
vdf
:
m
kT
v
H
2
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
