ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
61
Как показал анализ, в твердом теле нельзя рассматривать атомы как независимые,
необходимо принять во внимание их коллективные взаимодействия. Учет этого
взаимодействия был осуществлен в модели Дебая (1912г.)
Мы ограничились только кратким рассмотрением теории Эйнштейна и упоминанием
теории Дебая. Подробно эти темы будут изучаться в курсе физики
твердого тела.
Модель Эйнштейна
• Моделью является кристалл, состоящий из N атомов, каждый из которых
является квантовым гармоническим осциллятором. Колебания атомов
происходят
независимо друг от друга с одинаковой частотой υ. Энергия
квантового гармонического осциллятора дискретна:
υε
υ
hn
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
2
1
, n=0,1,2,… (9.8)
•
Среднее значение
υ
ε
находится методом статистической суммы (см. тема 4).
Энергия одного моля:
1
33
−
==
kT
h
AA
e
h
NNU
υ
υ
υ
ε
(9.9)
•
Для молярной теплоемкости кристаллической решетки получим следующее
выражение –
формулу Эйнштейна:
()
kT
h
kTh
e
e
kThR
C
υ
υ
μ
υ
2
/
2
1
)/(3
−
=
(9.10)
При высоких температурах формула Эйнштейна переходит в выражение (9.7).
При T→0 и С
μ
→0, что в общем совпадает с результатами опыта, однако
количественного согласия не наблюдается. Причина – избыточная упрощенность
модели.
Модель Дебая
• Кристаллическая решетка рассматривается как связанная система
взаимодействующих атомов. Колебания такой системы – результат наложения
многих гармонических колебаний с различными частотами.
•
Задача состоит в нахождении спектра частот системы гармонических
осцилляторов.
Согласно теории Дебая:
при высоких температурах выражение для теплоемкости соответствует закону
Дюлонга-Пти (9.7);
при T→0 теплоемкость убывает по закону С~Т
3
, что совпадает с
экспериментальными данными.
62
ТЕМА 10
АТМОСФЕРЫ ПЛАНЕТ
Атмосферы планет, в том числе и Земли, не находятся в равновесном состоянии. Если
бы такое состояние было возможным, то концентрация частиц в атмосфере должна была
бы изменяться с высотой согласно распределению Больцмана (см. тему 7):
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
rrkT
mM
G
ernrn
11
000
0
)()( (10.1),
где
r
mM
G
n
−=
ε
- потенциальная энергия частицы массы m в поле тяготения
шарообразного небесного тела, r
0
– радиус планеты.
Из (10.1) следует, что при r→∞ концентрация стремится к пределу n
0
(r
0
). Обратите
внимание, на бесконечности такое же значение концентрации молекул как у поверхности
планеты! Это невозможно, поскольку общее количество молекул в атмосфере планеты
конечно. Равновесие возможно только при n
0
(r
0
)=0, т.е. при полном отсутствии
атмосферы. Это противоречие возникает вследствие неприменимости распределения
Больцмана к реальным атмосферам.
В атмосферах планет вследствие распределения молекул по скоростям всегда имеется
некоторое количество частиц, скорость которых больше второй космической скорости,
величина которой зависит от массы планеты. Так для Земли v
II
=11.2 км/с, для Луны
v
II
=2.4 км/с. Молекулы с такой скоростью способны преодолеть силу планетного
притяжения, их называют «убегающими». Эти молекулы находятся в «хвосте»
распределения Максвелла, и их относительное число незначительно. Тем не менее, за
значительные промежутки времени потеря молекул является чувствительной. Время
потери атмосферы зависит также от радиуса планеты, температуры, состава атмосферы и
т
.д.
Приближенная оценка времени рассеяния идеализированной изотермической
атмосферы для различных планет приводится в [10]-§79, согласно которой τ=10
8
÷10
10
лет.
10.1
Барометрическая формула
Если рассматривать идеализированную изотермическую атмосферу, где g и T не
зависят от высоты, тогда из формулы Больцмана для концентрации (7.6) и выражения для
давления (6.2) получим барометрическую формулу:
kT
mgz
enzn
−
= )0()(
00
,
kTznzP )()(
0
= ,
RT
gz
kT
mgz
ePePzP
μ
−
−
== )0()0()(
00
(10.2)
Земная атмосфера не является равновесной, Т и g меняются с высотой. Поэтому
барометрическая формула (10.2) имеет очень ограниченную область применения.
На практике для описания зависимости давления от высоты используется
международная барометрическая формула, которая имеет область определения до 11000
м:
255.5
288
5.6
13.101)(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
h
hP
(10.3),
где P – давление в кПа, h – высота в км. Эта формула получена эмпирическим способом.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
