ВУЗ:
Составители:
38
Для нахождения вектор корня x* =
(
)
∗∗∗
n
xxx ,...,,
21
уравнения (4.3)
часто удобно использовать метод итерации
x
(p+1)
= ϕ(x
(p)
) (p = 0, 1, 2, ...),
(4.5)
где начальное приближение x
(0)
≈ x*. Это грубое значение искомого
корня. Заметим, что если процесс итерации (4.5) сходится, то
предельное значение
(
)
p
p
x
∞→
=ξ lim
(4.6)
обязательно является корнем уравнения (4.3). Действительно,
предполагая, что соотношение (4.6) выполнено, и переходя к пределу в
равенстве (4.5) при p→∞, в силу непрерывности функции ϕ(x) будем
иметь
() ()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ϕ=
∞→
+
∞→
p
p
p
p
xx limlim
1
,
т. е.
ξ = ϕ(ξ).
Таким образом, ξ есть корень векторного уравнения (4.3).
Рассмотрим метод простой итерации на примере системы двух
нелинейных уравнений с двумя неизвестными:
.0),(
;0),(
2
1
=
=
yxF
yxF
(4.7)
Решением системы (4.7) для х∈ [a,b] и у∈ [c, d] будут такие
значения х* и у*, которые обращают эту систему в тождество.
Необходимо найти х* и у* с заданной степенью точности ε.
Запишем систему (4.7) в эквивалентной форме:
).,(
),,(
2
1
yxy
yxx
ϕ=
ϕ
=
(4.8)
Последовательные приближения будут вычисляться по формулам:
),,(
),,(
0021
0011
yxy
yxx
ϕ=
ϕ
=
),,(
),,(
1122
1112
yxy
yxx
ϕ=
ϕ
=
(4.9)
. . . . . . . . . . . . .
),,(
),,(
21
11
nnn
nnn
yxy
yxx
ϕ=
ϕ
=
+
+
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
