Информатика. Часть 2. Мойзес О.Е - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

43
Для решения системы (4.1) будем использовать метод
последовательных приближений. Предположим, что найдено
p-е
приближение
()
(
)
(
)
(
)
(
)
p
n
pp
p
xxxx ,...,,
21
=
одного из изолированных корней
(
)
n
xxxx ,...,,
21
=
векторного уравнения
(4.13). Тогда точный корень уравнения (4.1) можно представить в виде
x = x
(p)
+ ε
(p)
,
(4.14)
где
()
()
(
)
()
(
)
p
n
pp
p
εεε=ε ,...,,
21
– поправка (погрешность корня).
Подставляя выражение (4.14) в уравнение (4.13), будем иметь
f(x
(p)
+ ε
(p)
) = 0.
(4.15)
Предполагая, что функция
f(x) непрерывно дифференцируема в
некоторой выпуклой области, содержащей
x и x
(p)
, разложим левую
часть уравнения (4.15) по степеням малого вектора ε
(p)
, ограничиваясь
линейными членами:
f(x
(p)
+
ε
(p)
) = f(x
(p)
) + f
′
(x
(p)
)
⋅
ε
(p)
= 0.
(4.16)
Из формулы (4.16)
вытекает, что под производной f
′
(x) следует
понимать
матрицу Якоби системы функций f
1
, f
2
, ... , f
n
относительно
переменных
x
1
, x
2
, ..., x
n
, т. е.
() ()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
==
′
n
nnn
n
n
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
xWxf
...
............
...
...
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
, (4.17)
или в краткой записи
() ()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
==
′
j
i
x
f
xWxf
∂
∂
, i, j = 1, 2, ... , n.
(4.18)
Система (4.16) представляет собой линейную систему
относительно поправок
()
p
i
ε (i = 1, 2, ... , n) с матрицей W(x), поэтому
формула (4.16) может быть записана в следующем виде:
f(x
(p)
) + W(x
(p)
)
⋅
ε
(p)
= 0.
(4.19)
Отсюда, предполагая, что матрица
W(x
(p)
) – неособенная, получим
ε
(p)
= – W
-1
(x
(p)
)
⋅
f(x
(p)
).
Следовательно,
x
(p+1)
= x
(p)
– W
-1
(x
(p)
)
⋅
f(x
(p)
), p = 0, 1, 2, ... .
(4.19*)

Страницы