Проводники в электростатическом поле. Мухамедшин И.Р - 18 стр.

единственное решение. Предположим, что кроме единственного решения
φ(x,y,z), уравнению Лапласа и граничным условиям удовлетворяет также другая
функция ψ(x,y,z). Так как уравнение Лапласа является линейным, то любая
линейная комбинация этих решений также должна быть решением уравнения
Лапласа, например,
                                W ( x , y , z ) = φ ( x, y , z ) − ψ ( x, y , z ) .            (15)
     Очевидно, что W(x,y,z) не удовлетворяет граничным условиям. Очевидно,
что на поверхности проводника, эта функция равна нулю, так как φ(x,y,z) и
ψ(x,y,z) принимают одинаковые значения φk на поверхности к-го проводника.
Следовательно, W(x,y,z) является решением другой электростатической задачи,
с теми же проводниками, при условии, что все проводники имеют нулевой
потенциал. Если это так, то функция W(x,y,z) должна быть равна нулю во всех
точка пространства. Если это не верно, то она должна иметь где-то максимум
или минимум, так на бесконечности W(x,y,z) также равна 0. Пусть W(x,y,z)
имеет экстремум в точке Р и допустим, что это максимум. Тогда точку можно
                                                                                           ∂W
окружить малой замкнутой поверхностью, на которой везде                                       < 0.
                                                                                           ∂n
Следовательно, поток градиента этой функции через выбранную замкнутую
поверхность отрицателен:
                                              ∂W
                                          v∫ ∂n ds < 0 .
                                          S
                                                                                               (16)

     С другой стороны, по теореме Остроградского-Гаусса:
                       ∂W             ∂W
                  v∫
                  S
                       ∂n
                          ds = ∫ div(
                               v
                                      ∂n
                                         )dv =         ∫ div ( gradW ) dv = ∫ ∆Wdv =
                                                       v                              v
                                                                                          0,   (17)

так как W(x,y,z) является решением уравнения Лапласа. А это противоречит с
нашим предположением о наличии максимума в точке Р. Аналогично можно
показать, если предположить, что в точке Р минимум функции W(x,y,z). Таким
образом, функция W(x,y,z) не может иметь ни максимума, ни минимума, и,
следовательно, W(x,y,z) всюду равна 0. А это означает, что ϕ ( x, y, z ) = ψ ( x, y, z ) .
Если не накладывать условия, что функция W(x,y,z) на бесконечности равна 0,
то функции φ(x,y,z) и ψ(x,y,z) совпадают с точностью до константы.
                                                  18