Электричество и магнетизм. Ч.3. Муравьев А.Б - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОмГУ | Омск

Составители: 

Рубрика: 

71
времени сумма напряжений на элементах контура равна приложенному
извне напряжению
U
R
+ U
C
+ U
L
= U
m
cosωt или t
m
U
dt
dI
L
C
q
IR
ω
cos=++ .
С учётом соотношений
qI
=
и q
dt
dI
= , получим дифференциаль-
ное уравнение электрических колебаний в контуре
t
L
m
U
qqq
ωωδ
cos=++
2
0
2
,
полностью совпадающее с уравнением (1), из чего следует, что заряд
конденсатора совершает колебания по закону
q = q
m
cos(ωt – ψ), (2)
а ток по закону
)cos()cos()sin(
ϕω
π
ψωψωω
−=+−=−−= tItItqI
mmm
2
,
где
2
π
ψϕ
−= – сдвиг фаз между током и приложенным к контуру на-
пряжением,
mm
qI
ω
= – амплитудное значение тока.
Векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на элемен-
тах контура приведена на рис. 3. Амплитуда
U
m
приложенного извне
напряжения равна векторной сумме амплитуд этих падений напряже-
ний. Из векторной диаграммы следует, что
R
CL
ωω
ϕ
/
tg
1−
=
.
U
C
U
LI
ω
C
I
m
ω
L
U
m
I
C
L
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
−
ω
1
R
U
R I
m
U
m
ψ
Рис. 3
72
Для прямоугольного треугольника векторов можно также записать
2
2
1
2
m
U
m
I
C
L
m
RI =
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
ω
ω
)(
,
откуда получим выражение для амплитуды силы тока (закон Ома для
цепи переменного тока)
2
1
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
=
C
LR
m
U
m
I
ω
ω
.
Разделив выражение (2) на
C, получим закон изменения напряже-
ния на конденсаторе
)cos()cos(
2
π
ϕωψω
−−=−= tUt
C
m
q
U
CmC
.
Амплитудное значение напряжения на конденсаторе
C
I
C
LRC
U
C
q
U
mmm
Cm
ω
ω
ωω
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
==
2
2
1
. (3)
Резонансная частота для напряжения на конденсаторе U
С
равна
0
2
2
22
0
2
1
2
ωδωω
≤−=−=
L
R
LC
Uрез
.
Резонансные кривые для
U
С
изображены на рис. 4. При ω → 0 ре-
зонансные кривые сходятся в одной точке с координатой
U
Cm
= U
m
, со-
ответствующей напряжению, возникающему на конденсаторе при под-
ключении его к источнику постоянного напряжения
U
m
. Максимум при
резонансе получается тем выше и резонансная кривая тем острее, чем
меньше
L
R
2
=
δ
, т. е. чем меньше активное сопротивление и больше ин-
дуктивность контура.
При малом затухании (
22
0
δω
>> ) резонансную частоту для на-
пряжения можно положить равной ω
0
.
Соответственно можно считать, что
0
1
≈−
C
L
рез
рез
ω
ω
. (4) 
времени сумма напряжений на элементах контура равна приложенному                      Для прямоугольного треугольника векторов можно также записать
извне напряжению                                                                                                                   2
                                                                                                                ⎛⎛        1 ⎞ ⎞
                                           q        dI                                              ( RI ) 2 + ⎜⎜ ⎜ ωL −     ⎟ I ⎟⎟ = U 2 ,
      UR + UC + UL = Umcosωt или IR + + L = U cosωt .                                                   m       ⎝⎝       ωC ⎠ m ⎠           m
                                           C        dt   m
                                          dI                                    откуда получим выражение для амплитуды силы тока (закон Ома для
      С учётом соотношений I = q и          = q , получим дифференциаль-     цепи переменного тока)
                                          dt
                                                                                                                         U
ное уравнение электрических колебаний в контуре                                                          I =                m             .
                                          U                                                               m                           2
                       q + 2δq + ω 2q = m cos ωt ,                                                                   ⎛        1  ⎞
                                     0                                                                            R 2 + ⎜ ωL −      ⎟
                                           L                                                                            ⎝       ωC ⎠
полностью совпадающее с уравнением (1), из чего следует, что заряд                    Разделив выражение (2) на C, получим закон изменения напряже-
конденсатора совершает колебания по закону                                      ния на конденсаторе
                                  q = qmcos(ωt – ψ),                    (2)                           q                                        π
      а ток по закону                                                                          U C = m cos(ωt − ψ ) = U Cm cos(ωt − ϕ − ) .
                                                   π                                                   C                                        2
        I = −ωqm sin(ωt − ψ ) = I m cos(ωt − ψ +       ) = I m cos(ωt − ϕ ) ,         Амплитудное значение напряжения на конденсаторе
                                                   2
                                                                                                        q                 Um                  I
              π                                                                                 U Cm = m =                                  = m . (3)
где ϕ = ψ −       – сдвиг фаз между током и приложенным к контуру на-                                    C                               2    ω C
          2                                                                                                                ⎛       1   ⎞
                                                                                                             ωC R 2 + ⎜ωL −            ⎟
пряжением, I m = ωqm – амплитудное значение тока.                                                                          ⎝      ωC ⎠
      Векторная диаграмма амплитуд падений напряжений на элемен-                      Резонансная частота для напряжения на конденсаторе UС равна
тах контура приведена на рис. 3. Амплитуда Um приложенного извне                                                           1  R2
напряжения равна векторной сумме амплитуд этих падений напряже-                                   ωUрез = ω 02 − 2δ 2 =      − 2 ≤ ω0 .
                                                                                                                          LC 2 L
                                                ωL − 1 / ωC
ний. Из векторной диаграммы следует, что tg ϕ =             .                         Резонансные кривые для UС изображены на рис. 4. При ω → 0 ре-
                                                    R
                                                                                зонансные кривые сходятся в одной точке с координатой UCm = Um, со-
                          UL                                                    ответствующей напряжению, возникающему на конденсаторе при под-
                                                                                ключении его к источнику постоянного напряжения Um. Максимум при
                                                                                резонансе получается тем выше и резонансная кривая тем острее, чем
                                                                                            R
                  ωLI                         U                                 меньше δ =     , т. е. чем меньше активное сопротивление и больше ин-
                                                                                            2L
                            Um                     ⎛       1 ⎞                  дуктивность контура.
                                                   ⎜ ωL −      Im
                                                   ⎝      ωC ⎠                        При малом затухании ( ω 02 >> δ 2 ) резонансную частоту для на-
                                              UR                                пряжения можно положить равной ω0.
                  Im           ψ ImR                                                  Соответственно можно считать, что
                  ωC                                                                                         ω рез L −
                                                                                                                          1
                                                                                                                              ≈0.                 (4)
                          UC                                                                                           ω резC

                                   Рис. 3

                                     71                                                                             72

Страницы