Дискретные системы. Муромцев Д.Ю - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

выборок исходного сигнала меньше этой величины, то он искусственно дополняется нулями до задан-
ного количества. Введя обозначение
r
j
N
j
r
ee
2
2
2
π
−
π
−
==ω
, выражение (2.2) запишется в виде:
∑
−
=
ω=
12
0
2
1
r
k
nk
rk
r
n
xC
. (3.1)
Разделим общую сумму выражения (3.1) на две части, одна содержит слагаемые с чётными номера-
ми, а другая с нечётными:
[ ]
,
2
1
2
1
2
1
нч
12
0
1
н
12
0
1
ч
12
0
)12(
12
2
2
12
0
11
1
n
n
rn
k
kn
rk
n
r
k
kn
rk
r
k
nk
rk
kn
rk
r
k
nk
rk
r
n
CСxx
xxxC
rr
r
r
ω+=
ωω+ω=
=ω+ω=ω=
∑∑
∑∑
−
=
−
−
=
−
−
=
+
+
−
=
−−
−
(3.2)
где
120 −=
r
,n
;
{
}
{
}
ч
12
ч
1
ч
0
22
20
чч
1
...,,,...,,,
−−
−
==∈
kr
xxxxxxXx
k
– элемент массива чётных номеров;
{
}
{
}
н
12
н
1
н
0
12
31
нн
1
...,,,...,,,
−−
−
==∈
kr
xxxxxxXx
k
– элемент массива нечётных номеров;
ч
n
С
,
н
n
С
– коэффициенты
Фурье, соответственно, для массивов чётных и нечётных элементов. То есть спектр исходного сигнала
состоит из двух спектров, образованных прореживанием по времени выборок исходного сигнала. Ко-
эффициенты
ч
n
С
,
н
n
С
являются периодическими с периодом
1
2
−
r
, т.е.
ч
2
ч
1−
+
=
r
n
n
СC
и
н
2
н
1−
+
=
r
n
n
СC
при
12,0
1
−=
−
r
n
. Учитывая, что
(
)
n
r
nj
j
nj
n
r
r
r
r
r
eee
ω−===ω
π
−
π−
+
π
−
+
−
−
2
2
2
2
2
2
1
1
при
12,0
1
−=
−
r
n
, выражение (3.2) можно
представить в форме:
−=
ω−=
ω+=
−
+
−
.12,0
;
;
1
нч
2
нч
1
r
n
n
rn
n
n
n
rnn
n
C
СC
C
СC
r
(3.3)
Рассмотрим теперь массив чётных номеров
{
}
==
−22
20
ч
...,,,
r
xxxX
{
}
....,,,
ч
12
ч
1
ч
0
1
−
−
=
k
xxx
Спектр этого
массива также можно представить как сумму спектров четных и нечетных составляющих этого массива
размерности
2
2
−
r
. Вычисления производятся по формулам (3.2) и (3.3). Обозначим уровень разбиения
исходного массива
l
, тогда на каждом уровне необходимо будет находить ДПФ для массива из
lr
−
2
элементов. Такое разбиение можно продолжать до тех пор, пока массив не будет состоять из одного
элемента при
rl
=
, ДПФ которого равно, согласно (3.1),
n
r
n
xC
2
1
=
. На уровне
rl
=
можно принять, что
ДПФ отсчёта равно самому отсчёту
nn
xC
=
, однако после выполнения всех операций (
0
=
l
), полученные
коэффициенты Фурье необходимо разделить на
.2
r
Для массива нечётных номеров
н
X
поступают ана-
логично.

Страницы