ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Методические указания
Под устойчивостью системы понимается такие её качества, при которых обеспечивается заверше-
ние её переходного процесса с течением времени. Этим самым обеспечивается переход в установив-
шееся состояние выхода дискретной системы при подаче на её вход ограниченного по амплитуде вход-
ного сигнала. То есть, будучи выведенной из равновесия, дискретная система, после снятия с неё вход-
ного воздействия, должна вернуться в состояние покоя
0)(lim =
∞→
iy
i
. Непосредственное суждение об ус-
тойчивости дискретной системы можно получить из анализа её импульсной характеристики
)(
ih
, кото-
рая для устойчивых систем должна представлять затухающий со временем периодический или аперио-
дический процессы.
Более формализовано исследование на устойчивость можно провести по передаточной характери-
стике дискретной системы
),(
zH
представленной в виде нулей и полюсов (5.8). Полюсы являются кор-
нями знаменателя передаточной характеристики (характеристического уравнения (4.11)), при которых
∞→= ][
i
pzH
. Система считается устойчивой, если все полюсы дискретной системы располагаются
внутри единичной окружности на комплексной плоскости
z
, т.е.
1<
i
p
. Если полюс находится на гра-
нице единичной окружности
1=
i
p
, то система находится на границе устойчивости. Если для неустой-
чивой системы имеются чисто мнимые полюса, то возникают незатухающие гармонические колебания.
При больших степенях полинома знаменателя
)(
zH
возникают значительные трудности при нахож-
дении его корней (полюсов), поэтому используют более удобный инструмент, который составляют раз-
личные критерии устойчивости.
Алгебраический критерий Рауса
. Для вычисления по данному алгоритму необходимо предвари-
тельно провести билинейное преобразование (
w
-преобразование, преобразование Мизеса), путём заме-
ны
w
w
z
−
+
=
1
1
. Из теории функций комплексного переменного известно, что билинейное преобразование
отображает круг единичного радиуса в плоскости
Z
во всю левую полуплоскость плоскости
W
. Таким
образом, дискретная система автоматического управления устойчива, если все корни её характеристи-
ческого уравнения расположены в левой полуплоскости плоскости
W
(по аналогии с устойчивостью
непрерывных систем).
Алгоритм основан на заполнении специальной таблицы (5.1), построенной на основании коэффи-
циентов характеристического уравнения по следующему алгоритму:
1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с чётными индексами в порядке их воз-
растания;
2) во второй строке – аналогично коэффициенты с нечётными индексами;
3) остальные элементы таблицы определяется по формуле:
1,11,2, +−+−
−=
jiijiji
crcc
;
,
1,11,2 −−
=
iii
ccr
(6.1)
где
3
≥
i
– номер строки;
j
– номер столбца;
4) число строк таблицы на единицу больше порядка характеристического уравнения.
