ВУЗ:
Составители:
33
Билет 30
1. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.
а) Исходная система линейных алгебраических уравнений записывается в виде, разрешенном
относительно неизвестных; при этом неизвестные появляются и в правой части. Исходя из
произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении достаточных
условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к
точному решению. При этом при вычислении (
k+1)-го приближения неизвестного x
i
при i>1
используются уже вычисленные ранее (
k+1)-е приближения неизвестных x
0
, x
1
, …, x
i-1
.
б) Если определитель матрицы коэффициентов
А не равен нулю, то исходная система имеет
единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам
A
A
x
i
i
det
det
=
, det A
i
и det
A определители матриц A
i
и А соответственно. Матрица A
i
образуется из матрицы А путем
замены ее
i-го столбца столбцом свободных членов.
в) Метод Зейделя разработан для решения систем линейных алгебраических уравнений с
периодической матрицей коэффициентов. Исходная система
n уравнений приводится к виду
),,,(, 121
1
−
=
β+α=
+
nixx
iiii
K
. Числа
ii
β
α
, , называемые прогоночными коэффициентами,
последовательно
находятся в прямом ходе. При осуществлении обратного хода определяется x
n
, а
затем вычисляются значения
),,( 11 K−
=
nix
i
, последовательно применяя рекуррентные формулы
1+
β+α=
iiii
xx
.
2. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нелинейного
уравнения?
а) Метод Ньютона весьма быстро сходится, точность каждого приближения в этом методе
пропорциональна квадрату точности предыдущего. Основной недостаток метода – необходимость
достаточно точного начального приближения.
б) Метод Ньютона относится к числу итерационных методов второго порядка и имеет наибольшую
точность нахождения корней нелинейного уравнения. Основной недостаток метода – медленная
скорость сходимости, что приводит к
значительным затратам машинного времени при решении
сложных нелинейных уравнений.
в) Метод Ньютона в ряду итерационных методов нахождения корней нелинейного уравнения
наиболее прост в организации вычислительного процесса. Основной недостаток метода – достаточно
медленная скорость сходимости.
3. Формулировка теоремы Лакса об эквивалентности.
а) Необходимым и достаточным условием сходимости разностной схемы для решения корректно
поставленной задачи с начальными данными для линейного уравнения в частных производных
является выполнение условий согласованности и устойчивости.
б) Для любого шага
h процесс Либмана (выбрав начальные приближения
)(0
ij
u
, последовательные
приближения
)( 1+k
ij
u для внутренних узлов сеточной области находятся как среднее арифметическое
значений в ближайших соседних узлах при
k-ом приближении) сходится к точному решению
независимо от выбора начальных значений.
в) Необходимым условием сходимости разностной схемы является обеспечение точного выполнения
законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области,
содержащей произвольное число узлов разностной сетки.
4. Условие устойчивости разностной схемы для решения уравнений гиперболического типа
(условие КФЛ).
а)
()
21
2
/≤ΔΔα=ν xt . б)
1≤ΔΔ=ν xtc
. в)
(
)
1
2
2
≤ΔΔ=ν txc .
5.
Объем V = 2,385 м
3
и плотность ρ = 1400 кг/м
3
образца измерены с точностью до 1 дм
3
и 1
кг/м
3
соответственно. Найти абсолютную и относительную погрешности в определении
массы образца m = V·ρ = 3339 кг.
а) Абсолютная погрешность = 3,895 , относительная погрешность = 0,0012.
б) Абсолютная погрешность = 3,786 , относительная погрешность = 0,0011.
в) Абсолютная погрешность = 3,657 , относительная погрешность = 0,0010.
