Численные методы. Мусакаев Н.Г - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

31
Билет 28
1. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
а) Данное правило разработано и применимо лишь для решения систем линейных алгебраических
уравнений с апериодической матрицей коэффициентов.
б) Реализация данного метода в виде вычислительной процедуры требует выполнения значительного
количества арифметических операций и соответственно больших затрат машинного времени. Кроме
того, он очень чувствителен к ошибкам округления.
в) Данный метод дает менее точные
результаты, чем другие методы решения систем линейных
алгебраических уравнений. При этом требуется выполнение жестких достаточных условий
сходимости.
2. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
а) На первом этапе изучается расположение корней и проводится их разделение, т.е. находится какой-
либо интервал [
a, b] оси Ox, внутри которого находится один корень, и нет других решений
нелинейного уравнения. На втором этапе, используя заданное начальное приближение, строится
итерационный процесс, позволяющий уточнить значение корня нелинейного уравнения.
б) На первом этапе проверяется выполнение достаточных условий сходимости. На втором этапе
нелинейное уравнение заменяется на интервале [
а, b] эквивалентным уравнением. На третьем этапе
строится итерационный процесс, позволяющий определить значение корня нелинейного уравнения.
в) На первом этапе левая часть нелинейного уравнения
f(x) = 0 аппроксимируется на интервале [а, b]
интерполяционным многочленом Лагранжа. На втором этапе, используя заданное начальное
приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого
корня.
3. В чем состоит суть конечно-разностных методов решения обыкновенных
дифференциальных уравнений?
а) Суть данных методов состоит в следующем. Полагается, что погрешность ε можно представить в
виде полинома
n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения
ограничен, следовательно, можно взять интеграл Фурье от данного полинома. В таком случае
конечно-разностная схема является абсолютно устойчивой.
б) Строится система равноотстоящих точек
x
i
= x
0
+i·h (i = 0, 1, 2,…). Вычисления значений y(x
i
),
являющихся решением дифференциального уравнения
y
'
= f(x, y), проводятся в два этапа. На первом
этапе находится промежуточное значение решение заменяется интерполяционным полиномом
Лагранжа с шагом
h, на втором этапе находится решение в промежуточных точках.
в) В рассматриваемой области пространства вместо непрерывной среды, состояние которой
описывается функциями непрерывного аргумента, вводится ее разностный аналог. Эта дискретная
модель среды описывается функциями дискретного аргумента, которые определены в конечном
числе точек на сетке. Дифференциальные уравнения заменяются соответствующими конечно-
разностными соотношениями. В
итоге исследуемая дифференциальная задача заменяется системой
разностных уравнений – разностной схемой.
4. Применение при численном решении задач математической физики нерегулярных сеток.
а) Нерегулярные сетки при численном решении задач математической физики применяются при
построении консервативных конечно-разностных схем.
б) Нерегулярные сетки при численном решении задач математической физики применяются для
записи граничных условий в конечно-разностном виде или получения более подробной информации
вблизи границ при известном численном решении задачи.
в) Нерегулярные сетки применяются, когда
граница расчетной области не совпадает с узлами
регулярной сетки или возникает необходимость сгущать сетку в некоторых подобластях для
достижения требуемой точности решения задачи.
5. Написать интерполяционный полином Лагранжа для функции f(x), которая представлена
четырьмя своими значениями:
f(0) = –0,5; f(0,1) = 0; f(0,3) = 0,2 и f(0,5) = 1.
а)
13
2
11
7
1
3
1
23
3
−−+= xxxxP )(
. б)
7
4
12
73
11
25
2
3
+−= xxxP )(
.
в)
2
1
12
73
30
3
125
23
3
−+−= xxxxP )(
.

Страницы