Численные методы. Мусакаев Н.Г - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

30
Билет 27
1. Вычисление определенного интеграла по формуле трапеции.
а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [x
i
, x
i+1
] равной длины. На каждом
отрезке [
x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(x
i2
) и интеграл
по [
a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
б) Отрезок интегрирования [
a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала
[
x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой
степени с узлами
x
i
и x
i+1
, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [a, b]
вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
в) В квадратурных формулах
Ψ+=
∑
∫
=
−
n
i
ii
tfcdttf
1
1
1
)()( коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
подбираются
так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени
N. При n узлах
точно интегрируются все многочлены степени
12
−
≤
nN
. Коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
находятся
из системы 2
n-1 нелинейных уравнений.
2.
Определение сплайн-функции.
а) Полином
∑∏∏
=≠=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=
n
iik
kii
n
k
kin
xxxxxxxfxP
00
)()()()()( , принимающий в точках x
i
значения
f(x
i
), называется сплайн-функцией, соответствующей данной функции f(x) и узлам x
i
(i = 0, 1,…, n).
б) Сплайн-функцией m-го порядка, соответствующей данной функции
f(x) и узлам x
i
(i = 0, 1,…, n),
называется функция
s(х), которая: 1) является полиномом m-го порядка на каждом частичном отрезке
[
x
i-1
, x
i
] (i = 1, 2,…, n); 2) непрерывна вместе со своими производными до (m–1)-го порядка в узлам
x
i
(i = 1, 2,…, n–1); 3) s(x
i
) = f(x
i
) (i = 0, 1,…, n).
в) Сплайн-функцией, соответствующей данной функции
f(x) и узлам x
i
(i = 0, 1,…, n), называется
полином вида
00
2
00
11
2
1
y
n
nqqq
y
qq
yqyxP
n
n
Δ
+−−
++Δ
−
+Δ+=
!
)()(
!
)(
)(
K
K
, где hxxq )(
0
−= , h
– шаг разностной сетки, Δ
k
y
i
– конечные разности k-го порядка.
3. Построение разностной схемы для численного решения обыкновенного
дифференциального уравнения.
а) Область непрерывного изменения аргумента заменяется некоторым конечным множеством точек,
лежащих в этой области. Это множество называется разностной сеткой. Для одномерной задачи
примером пространственной разностной сетки являются совокупность точек разбиения отрезка на
N
частей. Точки деления
x
i
отрезка называют узлами сетки. Расстояние между узлами x
i+1
– x
i
= h есть
шаг сетки.
б) Заданный отрезок [
a, b] заменяется системой частичных отрезков [x
i
, x
i+1
] равной длины,
называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала
x
i+1
– x
i
= h есть единичная
длина сетки. На каждом отрезке [
x
i
, x
i+1
] осуществляется численное решение дифференциального
уравнения.
в) Пусть для некоторого множества точек
x
0
, x
1
, …, x
n
исходной области известны табличные
значения функции
y = f(x), являющейся решением дифференциального уравнения. Данное множество
значений функции
y
0
, y
1
, …, y
n
, называемых узлами, есть разностная сетка. Расстояние между узлами
y
i+1
– y
i
= h называется шагом сетки.
4. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных
гиперболического типа?
а) Уравнения в частных производных гиперболического типа обычно описывают неустановившиеся
процессы, но зона зависимости их решений в отличие от параболических уравнений ограничена.
б) Уравнения в частных производных гиперболического типа обычно описывают одномерные
квазиустановившиеся процессы.
в) Уравнения в частных производных гиперболического типа обычно описывают установившиеся
процессы.
5. Определить относительную погрешность приближенного числа b = 0,2574 по ее
абсолютной погрешности Δ
b
= 0,02, предварительно округлив число b до верных знаков.
а) Относительная погрешность = 0,077.
б) Относительная погрешность = 0,078.
в) Относительная погрешность = 0,080.

Страницы