Численные методы. Мусакаев Н.Г - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

28
Билет 25
1. Назовите области применения формул численного дифференцирования.
а) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда требуется определить
допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции.
б) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения
функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в табличном виде и
аналитическое выражение функции неизвестно
.
в) К численному дифференцированию чаще всего прибегают, когда приходится вычислять
производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифференцирование
функции затруднительно.
2. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения
системы линейных алгебраических уравнений.
а) Отличие в том, что метод Гаусса с выбором главного элемента применим лишь для решения
систем линейных алгебраических уравнений с апериодической матрицей коэффициентов, поэтому на
очередном шаге реализации метода исключается не следующее по номеру неизвестное, а
неизвестное, находящееся на побочной диагонали и коэффициент при котором является главным, т.е.
наименьший по
модулю.
б) Отличие в том, что на очередном
k-ом шаге реализации метода Гаусса исключается элемент
)( 1−k
kk
a
, называемый главным элементом на k-м шаге исключения. Тем самым система линейных
алгебраических уравнений приводится к треугольному виду.
в) Отличие в том, что на очередном шаге реализации метода Гаусса исключается не следующее по
номеру неизвестное, а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим по модулю.
Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь выбирается главный, т.
е. наибольший по модулю
элемент.
3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.
а) Строится система равноотстоящих точек x
i
= x
0
+i·h (i = 0, 1, 2,…) при достаточно малом шаге h.
Приближенные значения
y(x
i
), являющиеся решением дифференциального уравнения y
'
= f(x, y),
вычисляются последовательно по формулам y
i+1
= y
i
+ h·f(x
i
, y
i
).
б) Строится система равноотстоящих точек
x
i
= x
0
+i·h (i = 0, 1, 2,…). При Вычисления значений y(x
i
),
являющихся решением дифференциального уравнения
y
'
= f(x, y), проводятся в два этапа. На первом
этапе находится промежуточное значение
),(
iiii
yxfhyy
α
+
=
с шагом α h, на втором этапе –
,),(),()(
iiiiii
yhxfhyxfhyy α+σ
+
σ−+=
+
1
1
где α >0, σ > 0 – параметры, определяемые из
соображений точности.
в) В методе Эйлера решение
y(x) дифференциального уравнения y
'
= f(x, y) получается как предел
последовательности функций
y
n
(x), которые находятся по реккурентной формуле
()
∫
−
+=
x
x
nn
dxxyxfyxy
0
10
)(,)(
.
4. Согласованность конечно-разностных схем, аппроксимирующих уравнения в частных
производных.
а) Разностная схема называется согласованной, если на каждом шаге по маршевой координате любая
ошибка не возрастает при переходе от одного шага к другому.
б) Согласованной называется разностная схема, аппроксимирующая уравнение в частных
производных, если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю.
в) Согласованной схемой называется разностная схема, обеспечивающая точное выполнение
законов
сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей
произвольное число узлов разностной сетки.
5. Дано уравнение x
2
– 100 x +1 =0. Привести данное уравнение к виду, при котором
выполняются достаточные условия сходимости для метода простой итерации на отрезке
[0; 1].
а) x = (x
2
+1)/100. б) x = 100 – 1/x. в)
1100 −= xx
.

Страницы