Численные методы. Мусакаев Н.Г - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

29
Билет 26
1. Какую функцию называют аппроксимирующей?
а) Пусть для конечного множества значений аргумента
x
0
, x
1
,…, x
n
известны табличные значения
функций
f(x
0
), f(x
1
), …, f(x
n
). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), расчеты
по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к данным значениям
функций
.
б) Пусть для конечного множества значений аргумента
x
0
, x
1
,…, x
n
известны табличные значения
функций
f(x
0
), f(x
1
), …, f(x
n
). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x),
производные от которой равны производным функции
f(x).
в) Пусть для конечного множества значений аргумента
x
0
, x
1
,…, x
n
известны табличные значения
функций
f(x
0
), f(x
1
), …, f(x
n
). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию φ(x), значения
которой отличаются от данных значений функций на постоянную величину
.
2. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисления интеграла с
помощью метода двойного пересчета.
а) Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения ε
s
и
погрешности округления
ε
p
. Так как с уменьшением шага расчета h погрешность ε
s
убывает, а ε
p
возрастает, то существует оптимальный шаг
h, определяемый таким образом, чтобы ε
s
составляла
примерно половину
ε
p
.
б) Пусть требуется вычислить интеграл
I с точностью ε. Используя формулу соответствующего
остаточного члена
Ψ, выбирают шаг h таким, чтобы выполнялось неравенство │Ψ│ < ε/2. Затем
вычисляют
I по выбранной квадратурной формуле с полученным шагом. При этом вычисления
следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не превышала
ε/2.
в) Вычисляют интеграл
I по выбранной квадратурной формуле дважды: сначала интеграл I
h
с
некоторым шагом
h, затем интеграл I
h/2
с шагом h/2, а затем сравнивают их. Если окажется, что
ε<−
2/hh
II , где ε – допустимая погрешность, то полагают
2/h
II
≈
. Если же ε≥−
2/hh
II , то
расчет повторяют с шагом h/4 и т.д.
3. Какая конечно-разностная схема аппроксимирующая уравнения в частных производных,
называется устойчивой?
а) Разностная схема, аппроксимирующая уравнение в частных производных, называется устойчивой,
если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится к нулю.
б) Разностная схема называется устойчивой, если на каждом шаге по маршевой координате любая
ошибка (погрешность округления, погрешность аппроксимации, просто ошибка) не возрастает при
переходе от одного шага к другому.
в) Устойчивой называется
разностная схема, обеспечивающая точное выполнение законов
сохранения (исключая погрешности округления) на любой сетке в конечной области, содержащей
произвольное число узлов разностной сетки.
4. В чем состоит суть метода конечных разностей для уравнений в частных производных?
а) Основой метода конечных разностей является дискретизация – замена непрерывной области
совокупностью изолированных точек (сеткой), причем решение уравнений ищется лишь в этих
точках (узлах сетки). Производные аппроксимируются конечными разностями и решение уравнения
в частных производных сводится к решению системы алгебраических уравнений.
б) Строится система равноотстоящих точек
xixx
i
Δ
+
=
0
,
(
)
K,,,, 210
0
=
Δ
+
=
ititt
i
. Вычисления
значений
u(x
i
, t
n
), являющихся решением уравнения в частных производных, проводятся в два этапа.
На первом этапе находится промежуточное значение
)(
n
j
n
j
n
j
n
j
uu
x
tc
uu −
Δ
Δ
−=
+
+
1
1
, на втором этапе –
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
Δ
Δ
−+=
+
−
+++
)(
1
1
111
2
1
n
j
n
j
n
j
n
j
n
j
uu
x
tc
cuuu .
в) Суть данных методов состоит в следующем.
Полагается, что погрешность ε можно представить в
виде полинома
n-ой степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения
ограничен, следовательно, можно взять интеграл Лебега от данного полинома. В таком случае
конечно-разностная схема является абсолютно устойчивой.
5. Дано нелинейное уравнение
050
=
− xx ,sin
. Определить методом деления отрезка пополам
корень данного уравнения на интервале [1,7; 2] с точностью ε = 10
-2
.
а) корень уравнения = 1,87.
б) корень уравнения = 1,90.
в) корень уравнения = 1,96.

Страницы