Численные методы. Мусакаев Н.Г - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

27
Билет 24
1. В чем принципиальное отличие метода (метод интерполяции) от методов Ньютона и
Лагранжа?
а) Интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа строятся, исходя из требования, что значения
аппроксимируемой функции f(x) и данного многочлена в узлах интерполяции совпадали. В методе
наименьших квадратов функция f(x) и интерполяционный многочлен P
m
(x) близки в несколько ином
смысле, а именно, сумма квадратов отклонений P
m
(x) от табличных значений f(x) минимальна.
б) Интерполяционные формулы Ньютона и Лагранжа строятся таким образом, чтобы сумма
отклонений значений аппроксимируемой функции f(x) и данного многочлена в узлах интерполяции x
i
была минимальна, а степень интерполяционного многочлена выбирается исследователем. В методе
наименьших квадратов функция f(x) и интерполяционный многочлен P
m
(x) в узлах x
i
совпадают, а
степень P
m
(x) зависит от количества узлов.
в) Отличие состоит в следующем. Весь отрезок интерполирования разбивают на частичные отрезки и
на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют интерполируемую функцию f(x)
многочленом невысокой степени. Для того чтобы не возникало разрывов производной в местах
сочленения, на каждом частичном отрезке степень полинома берется «с
запасом», а возникающую
свободу в выборе коэффициентов полиномов используется для сопряжения производных на границах
участков.
2. Метод Ньютона нахождения корней нелинейного уравнения.
а) Для решения нелинейного уравнения f(x) = 0 методом Ньютона требуется, чтобы на концах
интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения разных знаков. Итерационная
процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из
половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь
полученного интервала станет меньше
заданной точности ε, и в качестве корня уравнения
приближенно принимается середина этого интервала.
б) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом Ньютона требуется, чтобы
функция f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков, сохраняющие
на [а, b] постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного начального
приближения x
0
. Последующие приближения определяется по формуле x
k+1
= x
k
– f(x
k
)/f΄(x
k
),
(k = 0, 1, …).
в) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным уравнением x = φ(x).
Итерации образуются по правилу x
k+1
= φ(x
k
), (k = 0, 1, …), причем задается начальное приближение
x
0
. Если последовательность чисел x
k
имеет предел при k→0, то этот предел является корнем
уравнения x = φ(x).
3. Укажите методы построения конечно-разностных схем.
а) Методы: 1) разложение функций в ряд Тейлора; 2) интерполяция функций полиномами; 3)
интегральный метод; 4) метод контрольного объема.
б) Методы: 1) разложение функций в ряд Фурье; 2) дифференциальный метод; 4) метод конечного
объема.
в) Методы: 1) простой явный метод Эйлера; 2) метод Лакса-Вендроффа; 3) метод использования
разностей против потока; 4) метод Неймана.
4. Области применения нерегулярных сеток при численном решении задач математической
физики.
а) При построении консервативных и согласованных конечно-разностных схем.
б) При несовпадении границы расчетной области с узлами регулярной сетки или из-за необходимости
сгущать сетку в некоторых подобластях для достижения требуемой точности решения задачи.
в) Для записи граничных условий в конечно-разностном виде или получения более подробной
информации вблизи границ при
известном численном решении задачи.
5. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
h
yy
xx
xyxy
y
ii
ii
ii
x
−
=
−
−
=
+
+
+ 1
1
1
)()(
(
, разложив в ряд Тейлора решение дифференциальной
задачи в окрестности узла
x
i
(h – шаг разностной сетки)
а) O(h
3
). б) O(h
2
/3). в) O(h).

Страницы