Численные методы. Мусакаев Н.Г - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

25
Билет 22
1. Вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона.
а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала
[x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом второй степени с
узлами x
i
, x
i+1/2
и x
i+1
. Интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным
отрезкам.
б) В квадратурных формулах
Ψ+=
∑
∫
=
−
n
i
ii
tfcdttf
1
1
1
)()(
коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
подбираются
так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При n узлах
точно интегрируются все многочлены степени
12
−
≤
nN
. Коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
находятся
из системы 2n-1 нелинейных уравнений.
в) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают на частичные отрезки [x
i
, x
i+1
] равной длины. На каждом
отрезке [x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(x
i+1/2
) и интеграл
по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
2. В чем состоит суть метода прогонки решения системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ)?
а) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с апериодической матрицей коэффициентов. Если
определитель матрицы коэффициентов А не равен нулю, то исходная система имеет единственное
решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам x
i
= det A
i
/det A, где det A
i
и det A
определители матриц A
i
и А соответственно. Матрица A
i
образуется из матрицы А путем замены ее i-
го столбца столбцом свободных членов.
б) Метод прогонки разработан для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей коэффициентов.
Исходная система n уравнений приводится к виду x
i
= α
i
+β
i
x
i+1
(i = 1, 2,…, n-1).. Числа α
i
, β
i
,
называемые прогоночными коэффициентами, последовательно
находятся в прямом ходе. При
осуществлении обратного хода определяется x
n
, а затем вычисляются значения x
i
(i = n-1, …, 1),
последовательно применяя рекуррентные формулы x
i
= α
i
+β
i
x
i+1
.
в) Суть метода прогонки заключается в следующем. Исходная система заменяется эквивалентной.
Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационная процедура. При выполнении
достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично
приближающихся к точному решению.
3. Разностная аппроксимация задачи Коши для обыкновенного дифференциального
уравнения (ДУ) первого порядка.
а) Исходным пунктом при разностной аппроксимации является вычисление погрешности ε.
Полагается, что погрешность ε можно представить в виде интерполяционного полинома n-ой
степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно,
можно взять интеграл Фурье от данного полинома. В таком случае погрешность аппроксимации
стремится к нулю при измельчении разностной сетки.
б) Исходным пунктом при разностной аппроксимации является замена области
непрерывного
изменения аргумента некоторым конечным множеством точек, лежащих в этой области (разностная
сетка) Эта дискретная модель среды описывается сеточными функциями, которые определены в
узлах сетки. ДУ заменяются соответствующими конечно-разностными соотношениями. В итоге
исследуемая задача Коши заменяется, или, как говорят, аппроксимируется системой разностных
уравнений – разностной схемой.
в) Заданный отрезок [a,
b] заменяется системой частичных отрезков [x
i
, x
i+1
] равной длины,
называемой разностной сеткой. Расстояние между концами интервала x
i+1
– x
i
, = h есть единичная
длина сетки. На каждом отрезке [x
i
, x
i+1
] осуществляется численное решение ДУ. Общее решение на
[a, b] вычисляется как сумма частных решений по всем частичным отрезкам.
4. Какая конечно-разностная схема называется слабо устойчивой (неустойчивой)?
а) Если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится (не стремится) к нулю, то
конечно-разностная схема называется слабо устойчивой (неустойчивой).
б) Если отдельная погрешность округления не растет (растет), то конечно-разностная схема
называется слабо устойчивой (неустойчивой).
в) Если разностная схема обеспечивает (не обеспечивает) выполнение физических законов
сохранения, следствием которых является рассматриваемое
уравнение в частных производных, то
она называется слабо устойчивой (неустойчивой).
5. Найти методом деления отрезка пополам корень уравнения 0=
−
xxcos на интервале
[0,7; 0,8] с точностью ε = 10
-2
.
а) корень уравнения = 0,79. б) корень уравнения = 0,78. в) корень уравнения = 0,74.

Страницы