Численные методы. Мусакаев Н.Г - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

24
Билет 21
1. Что принимают за меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом P
m
(x) в методе
наименьших квадратов?
а) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом P
m
(x) в узлах x
i
принимают максимум
модуля разности f(x
i
) и P
m
(x
i
) ),( ni 1= .
б) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом P
m
(x) в узлах x
i
принимают сумму
∑
=
−ω
n
i
imii
xPxfx
1
)()()( , где 0≥ω )(x – заранее выбранная «весовая» функция.
в) За меру качества аппроксимации функции f(x) полиномом P
m
(x) в узлах x
i
принимают сумму
[]
∑
=
−ω
n
i
imii
xPxfx
1
2
)()()( , где 0≥
ω
)(x – заранее выбранная «весовая» функция.
2. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании
остаточных членов формул.
а) Формула прямоугольников обеспечивает высокую точность при небольшом числе узлов, чем
формулы Симпсона и трапеций, а последние – более точные результаты, чем формула Гаусса. Однако
для функции малой гладкости, имеющих лишь первую или вторую производную, а также для
функций с разрывами производных простые формулы интегрирования (Гаусса, трапеции и
Симпсона) могут давать примерно
ту же точность, что и формула прямоугольников.
б) Анализ формул численного интегрирования показывает, что для функций высокой гладкости
квадратурная формула трапеций является наиболее точной по сравнению с формулами Гаусса и
Симпсона). Однако для функций с разрывами производных наиболее точным является более сложная
формула прямоугольников.
в) Для функций имеющих непрерывные производные
достаточно высокого порядка при одинаковом
числе узлов формула Гаусса дает значительно более точные результаты, чем формула Симпсона, а
последняя – более точные результаты, чем формулы прямоугольников и трапеций. При этом для
получения одной и той же точности по формуле Гаусса необходимо выполнить меньше операций,
чем по формуле Симпсона, а по последней – меньше
, чем по формуле трапеций.
3. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
а) Нелинейное уравнение f(x) = 0 на интервале [а, b] заменяется эквивалентным уравнением x = φ(x).
Итерации образуются по правилу x
k+1
= φ(x
k
), (k = 0, 1, …), причем задается начальное приближение
x
0
. Если последовательность чисел x
k
имеет предел при k→0, то этот предел является корнем
уравнения x = φ(x).
б) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется,
чтобы на концах интервала [а, b] функция f(x) принимала ненулевые значения противоположного
знака. Итерационная процедура состоит в переходе от такого интервала к новому интервалу,
совпадающему с одной из половин предыдущего
и обладающему тем же свойством. Процесс
заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности ε, и в
качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.
в) Для нахождения корня нелинейного уравнения f(x) = 0 методом простой итерации требуется,
чтобы функция f(x) имела на интервале [а, b] непрерывные производные 1-го и 2-го порядков,
сохраняющие
на [а, b] постоянный знак. Для начала вычислений необходимо задание одного
начального приближения x
0
. Последующие приближения определяется по формуле x
k+1
= x
k
–
f(x
k
)/f΄(x
k
), (k = 0, 1, …).
4. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
а) В том, что неявные методы абсолютно устойчивы и позволяют выбирать шаг по пространственной
переменной независимо от шага по времени (или параметра, играющего роль времени).
б) В том, что неявные методы являются более простыми в реализации в виде программного продукта.
в) В том, что неявные методы не требуют на каждом шаге
по маршевой переменной (по времени)
решения системы алгебраических уравнений.
5. Даны числа a = 1,137 и b = 1,073 с абсолютными погрешностями Δ
a
=Δ
b
=0,011. Оценить
погрешность их разности c =
a – b.
а) Δ
с
= 0,011. б) Δ
с
= 0,022. в) Δ
с
= 0,001.

Страницы