Численные методы. Мусакаев Н.Г - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

26
Билет 23
1. Недостатки метода Гаусса (метода наивысшей алгебраической точности) вычисления
определенного интеграла.
а) В методе Гаусса в отличие от других квадратурных формул абсциссы x
i
подбираются исходя из
соображений точности и, вообще говоря, являются иррациональными числами. В этой связи он
наиболее сложен в организации вычислительного процесса. Кроме того, при интегрировании
функций, заданных таблично, метод можно использовать только при соответствующем
расположении концов интервалов разбиения.
б) В методе Гаусса погрешности усечения с ростом числа интервалов разбиения увеличиваются
пропорционально квадрату h
2
, где h =const – шаг интегрирования. При этом необходимо выполнение
достаточно жестких условий сходимости метода.
в) Для функций высокой гладкости при одинаковом числе узлов метод Гаусса дает менее точные
результаты, чем другие методы численного интегрирования. При этом для получения одной и той же
точности по формуле Гаусса необходимо выполнить значительно больше операций.
2. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функций.
а) Требуется найти значение функции f(x),
i
xx
≠
(i = 0, 1,…, n), если известны узлы
интерполирования x
i
(i = 0, 1,…,n) и значения функции f(x) в этих узлах.
б) Требуется вычислить производные от функций, заданных в табличном виде, или имеющих разрыв
2-го рода.
в) Требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности
функции.
3. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
а) Если матрица коэффициентов А невырожденная (определитель этой матрицы не равен нулю), то
исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по
формулам
A
A
x
i
i
det
det
= , det A
i
и det A определители матриц A
i
и А соответственно. Матрица A
i
образуется из матрицы А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов.
б) Заданная система линейных уравнений каким-либо образом приводится к эквивалентному виду.
Исходя из произвольного начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении
достаточных условий сходимости, получается последовательность векторов, неорганично
приближающихся к точному решению.
в) В основе данного
метода лежит идея последовательного исключения неизвестных. Решение
системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда исходная система приводится к треугольному
виду; 2) полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений хранятся в памяти
ЭВМ и используются при осуществлении обратного хода, который заключается в нахождении
неизвестных из системы треугольного вида.
4. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
а) Сеточная функция y
i
есть функция дискретного аргумента, решение дифференциальной задачи u –
функция непрерывного аргумента. Они принадлежат разным функциональным пространствам. О
близости решений разностной и дифференциальной задач говорят в том случае, когда величина
нормы ║u(x
i
) – y
i
║ в пространстве сеточных функций неограниченно уменьшается при шаге
разностной сетки h→0.
б) Рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка y
'
= f(x, y) с начальным условием
y(x
0
) = y
0
. Выбрав достаточно малый шаг h, строят систему равноотстоящих точек (разностную сетку)
x
i
= x
0
+i·h. При этом приближенные значения y(x
i
) вычисляются последовательно по формулам y
i+1
= y
i
+ h·f(x
i
, y
i
).
в) При определении разностной производной вместо отношения бесконечно малых ограничиваются
отношением конечных разностей, т.к. для функции дискретного аргумента на фиксированной сетке
понятие предельного перехода при нахождении производной теряет смысл. При этом разностный
оператор L
h
аппроксимирует дифференциальный оператор L с порядком n > 0 в точке x
i
, если для
погрешности аппроксимации имеет место
)()(
n
xx
hii
hOLuuLx
i
=−=ψ=ψ
=
или ║ψ║≤M·h
n
, где
M=const>0 не зависит от шага разностной сетки h.
5. Длина и ширина аудитории, измеренные с точностью до 1 дм, равны a = 12,49 м и
b = 5,12 м. Оценить абсолютную погрешность в определении площади аудитории
S = a·b = 63,9488 м
2
.
а) Абсолютная погрешность = 0,1849. б) Абсолютная погрешность = 0,1762.
в) Абсолютная погрешность = 1,0012.

Страницы