Численные методы. Мусакаев Н.Г - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

23
Билет 20
1. Оценка погрешности интерполяции для формул Лагранжа и Ньютона.
а) Погрешность интерполяции оценивается соотношением
3
12
M
ab
h
xR
n
−
≤)( , где
)(min
],[
ξ
′′
=
∈ξ
fM
ba
3
,
ξ – некоторая точка заданного промежутка [а, b], h = const – расстояние между соседними узлами
интерполяции x
i
(i = 0, 1,…, n).
б) Погрешность интерполяции оценивается соотношением
,)())((
)!(
)(
)(
)(
n
n
n
xxxxxx
n
f
xR −−−
+
ξ
=
+
K
10
1
1
где ξ есть некоторая точка наименьшего промежутка,
содержащего все узлы интерполяции x
i
(i = 0, 1,…, n) и точку х, в которой находится значение
сеточной функции f(x).
в) Погрешность интерполяции оценивается соотношением
(
)
22
in
xxxR −= sup)( , ),( ni 0= , где x
i
–
узлы интерполяции, х – некоторое значение сеточной функции f(x).
2. В чем состоит суть метода двойного пересчета апостериорной оценки погрешности
вычисления определенного интеграла.
а) Суть состоит в следующем. Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма
погрешности усечения ε
s
и погрешности округления ε
p
. Так как с уменьшением шага расчета h
погрешность ε
s
убывает, а ε
p
возрастает, то существует оптимальный шаг h, определяемый таким
образом, чтобы ε
s
составляла примерно половину ε
p
.
б) Вычисления интеграла I по выбранной квадратурной формуле проводят дважды: сначала интеграл I
h
с некоторым шагом h, затем интеграл I
h/2
с шагом h/2, а затем сравнивают их. Если окажется, что
ε<−
2/hh
II
, где ε – допустимая погрешность, то полагают
2/h
II
≈
. Если же
ε≥−
2/hh
II
, то
расчет повторяют с шагом h/4 и т.д.
в) Суть состоит в следующем. Пусть требуется вычислить интеграл I с точностью ε. Используя
формулу соответствующего остаточного члена Ψ, выбирают шаг h таким, чтобы выполнялось
неравенство
2/ε<ψ . Затем вычисляют I по выбранной квадратурной формуле с полученным шагом.
При этом вычисления следует производить с таким числом знаков, чтобы погрешность округления не
превышала ε/2.
3. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса.
а) Если матрица коэффициентов А невырожденная (определитель этой матрицы не равен нулю), то
исходная система имеет единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по
формулам x
i
= det A
i
/det A, где det A
i
и det A – определители матриц A
i
и А соответственно. Матрица A
i
образуется из матрицы А путем замены ее i-го столбца столбцом свободных членов.
б) Заданная СЛАУ каким-либо образом приводится к эквивалентному виду. Исходя из произвольного
начального вектора, строится итерационный процесс. При выполнении достаточных условий сходи-
мости, получается последовательность векторов, неорганично приближающихся к точному решению.
в) В основе данного метода
лежит идея последовательного исключения неизвестных. Решение
системы распадается на два этапа: 1) прямой ход, когда исходная система приводится к треугольному
виду; 2) полученные коэффициенты при неизвестных и правые части уравнений хранятся в памяти
ЭВМ и используются при осуществлении обратного хода, который заключается в нахождении
неизвестных из системы треугольного вида.
4. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
а) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления y
i+1
нужно использовать лишь
имеющеюся информацию о r предыдущих точках (x
i+1
, y
i+1
), (x
i-1
, y
i-1
),,..., (x
i-r
, y
i-r
) (r-шаговый метод).
б) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. невязка или погрешность аппроксимации
разностной схемы стремится к нулю при измельчении сетки.
в) Метод Рунге-Кутта называется самостартующим, т.к. для вычисления y
i+1
нужно знать лишь одно
значение y
i
и с помощью этого метода можно начинать решение дифференциального уравнения.
5. Дано волновое уравнение
020 =
∂
∂
+
∂
∂
y
u
t
u
. С каким шагом по маршевой переменной Δ
t
необходимо решать данное уравнение каким-либо явным конечно-разностным методом,
чтобы выполнялось условие устойчивости Куранта-Фридлихса-Леви, если шаг по
пространственной координате Δ
y
= 0,4.
а)
50≤Δ
t
. б)
020
,
≤
Δ
t
. в)
8
≤
Δ
t
.

Страницы