Численные методы. Мусакаев Н.Г - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

21
Билет 18
1. Достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
а) Достоинство – метод наиболее прост в понимании и организации вычислительного процесса.
Основной недостаток метода – при увеличении числа узлов и соответственно степени
интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново.
б) Достоинство – метод относится к числу итерационных методов и имеет наибольшую точность
интерполяции. Основной недостаток метода – медленная
скорость сходимости, что приводит к
значительным затратам машинного времени.
в) Достоинство – использование многочленов невысокого порядка и вследствие этого малым
накоплением погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода – из числа методов
интерполяции наиболее сложен в и организации вычислительного процесса.
2. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников.
а) Отрезок интегрирования [a, b] разбивают
на частичные отрезки [x
i
, x
i+1
] равной длины. На каждом
отрезке [x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется на постоянную величину f(x
i+1/2
) (либо f(x
i
),
либо f(x
i+1
)) и интеграл по [a, b] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
б) Отрезок интегрирования [a, b] разбивается на n равных интервалов. В пределах каждого интервала
[x
i
, x
i+1
] подынтегральная функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа первой
степени с узлами x
i
и x
i+1
, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [a, b]
вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
в) В квадратурных формулах Ψ+=
∑
∫
=
−
n
i
ii
tfcdttf
1
1
1
)()( коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
подбираются
так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При n узлах
точно интегрируются все многочлены степени
12
−
≤
nN
. Коэффициенты c
i
и абсциссы t
i
находятся
из системы 2n-1 нелинейных уравнений.
3. Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простой итерации.
а) Исходная СЛАУ записывается в виде, разрешенном относительно неизвестных; при этом
неизвестные появляются и в правой части. Исходя из произвольного начального вектора, строится
итерационная процедура. При выполнении достаточных условий сходимости, получается
последовательность векторов, неорганично приближающихся
к точному решению. Точное решение
системы получается лишь в результате бесконечного итерационного процесса и всякий вектор из
полученной последовательности является приближенным решением.
б) Если определитель матрицы коэффициентов А не равен нулю, то исходная система имеет
единственное решение. Значения неизвестных могут быть получены по формулам x
i
= det A
i
/det A,
det A
i
и det A определители матриц A
i
и А соответственно. Матрица A
i
образуется из матрицы А путем
замены ее i-го столбца столбцом свободных членов.
в) Метод простой итерации разработан для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей
коэффициентов. Исходная система n уравнений приводится к виду x
i
= α
i
+β
i
x
i+1
(i = 1, 2,…, n-1).
Числа α
i
, β
i
, называемые прогоночными коэффициентами, последовательно находятся в прямом
ходе. При осуществлении обратного хода сначала определяется x
n
, а затем вычисляются значения x
i
(i = n-1, …, 1), последовательно применяя рекуррентные формулы x
i
= α
i
+β
i
x
i+1
.
4. Сходимость решения маршевых задач.
а) Под сходимостью понимается стремление решения разностного аналога уравнения в частных
производных к решению исходного уравнения при измельчении сетки (для одинаковых начальных и
граничных условий). Необходимым и достаточным условием сходимости разностной схемы для
решения корректно поставленной задачи с начальными данными для линейного уравнения в частных
производных
является выполнение условий согласованности и устойчивости.
б) Понятие сходимости строго применимо лишь при решении маршевых задач. Разностная схема
называется сходящейся, если на каждом шаге по маршевой координате любая ошибка (погрешность
округления, погрешность аппроксимации и т.п.) не возрастает при переходе от одного шага к
другому.
в) Если разностная схема даст
близкую аппроксимацию уравнения в частных производных в
окрестности каждого узла разностной сетки, то можно ожидать, что законы сохранения будут
приближенно выполняться и для большего контрольного объема, содержащего довольно большое
число узлов разностной сетки. Необходимым условием сходимости разностной схемы является
обеспечение точного выполнения законов сохранения (исключая погрешности округления) на любой
сетке в
конечной области, содержащей произвольное число узлов разностной сетки.
5. Оценить погрешность аппроксимации в точке (
i, j) конечно-разностной аппроксимации
производной
h
uuu
x
u
jijiji
2
34
12 ,,,
+−
≈
∂
∂
−−
на равномерной сетке, где h – шаг сетки.
а) O(h
2
). б) O(h
3
/2). в) O(h/3).

Страницы