Численные методы. Мусакаев Н.Г - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТюмГНГУ | Тюмень

Составители: 

Рубрика: 

32
Билет 29
1. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисления интеграла с
помощью метода двойного пересчета.
а) Общая погрешность вычисления интеграла рассматривается как сумма погрешности усечения ε
s
и
погрешности округления
ε
p
. Так как с уменьшением шага расчета h погрешность ε
s
убывает, а ε
p
возрастает, то существует оптимальный шаг интегрирования
h, определяемый таким образом, чтобы
ε
s
составляла примерно половину ε
p
.
б) Выбор шага интегрирования производится следующим образом. Пусть требуется вычислить
интеграл
I с точностью ε. Используя формулу соответствующего остаточного члена Ψ, выбирают шаг
h таким, чтобы выполнялось неравенство 2/ε<Ψ . Затем вычисляют I по выбранной квадратурной
формуле с полученным шагом. При этом вычисления следует производить с таким числом знаков,
чтобы погрешность округления не превышала
ε/2.
в) Вычисления интеграла I по выбранной квадратурной формуле проводят дважды: сначала интеграл
I
h
с некоторым шагом h, затем интеграл I
h/2
с шагом h/2, а затем сравнивают их. Если окажется, что
ε<−
2/hh
II
, где ε – допустимая погрешность, то полагают
2/h
II
≈
. Если же
ε≥−
2/hh
II
, то
расчет повторяют с шагом
h/4 и т.д.
2. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений
называется самоисправляющимся?
а) Потому что для данного метода вводятся достаточные условия сходимости.
б) Потому что отдельная ошибка, допущенная при вычислениях, не отражается на конечном
результате, поскольку ошибочное приближение рассматривается как новый начальный вектор.
в) Потому что при использовании данного метода строится отдельная процедура, исправляющая
любые ошибки, допущенные при расчетах.
3. Какая конечно-разностная схема называется сильно устойчивой (неустойчивой)?
а) Если при измельчении сетки погрешность аппроксимации стремится (не стремится) к нулю, то
конечно-разностная схема называется сильно устойчивой (неустойчивой).
б) Если полная погрешность округления не растет (растет), то конечно-разностная схема называется
сильно устойчивой (неустойчивой).
в) Если разностная схема обеспечивает (не обеспечивает) выполнение физических законов
сохранения, следствием которых является рассматриваемое
уравнение в частных производных, то
она называется сильно устойчивой (неустойчивой).
4. Анализ устойчивости конечно-разностной схемы для решения уравнений
гиперболического типа методом Неймана (методом Фурье).
а) Согласно методу Неймана полагается, что погрешность ε можно представить в виде полинома n-ой
степени. Если разностная схема устойчива, то рост любого возмущения ограничен, следовательно,
можно взять интеграл Фурье от данного полинома. В этом случае условие устойчивости конечно-
разностной схемы для уравнения гиперболического типа получается в виде
()
21
2
/≤ΔΔα=ν xt
.
б) Принимается, что погрешность ε удовлетворяет разностной схеме для гиперболического уравнения
и в методе Неймана ее представляют в виде суммы ряда Фурье. Если разностная схема устойчива, то
рост любого возмущения, вводимого на
n-м шаге по времени, ограничен. Подставляя данное
разложение ε в разностное уравнение, для условия устойчивости рассматриваемой конечно-
разностной схемы получаем неравенство
1≤ΔΔα=ν xt
.
в) Так как разностная схема устойчива при ограниченности роста любого возмущения, то в методе
Неймана принимается, что погрешность ε на любом шаге по времени является постоянной величиной
и равной первому члену ряда Фурье.
Подставляя данное разложение ε в разностное соотношение для
уравнения гиперболического типа, для условия устойчивости рассматриваемой конечно-разностной
схемы получаем формулу 1
=
Δ
⋅
Δα
=
ν
xt .
5. Вычислить приближенно интеграла
∫
+
=
40
0
1
,
x
dx
I
по формуле трапеций при n = 4 и оценить
остаточный член.
a) I = 0,3369,
000670,<R
; б) I = 0,3492,
00010,<R
;
в) I = 0,287,
000940,<R
.

Страницы