Методические указания, контрольные работы по дисциплине "Математический анализ" (1 семестр). Мустафина Д.А - 53 стр.

                                                                                                 Приложение 5.
                Интегрирование иррациональных функций
     подынтегральное
№                      преобразования      замена                                                    dx
        выражение
                                                                                                ax + b = t 2
                       dx
1.                                                                        ax + b = t                 2tdt
                   ax + b                                                                       dx =
                                                                                                       a
                                                    dx
                       dx                                                      p
                                                                                                 dx = dt
                                                    2
2.                                      ⎛    p⎞ ⎛        p2 ⎞             x+     =t
           x + px + q
               2
                                        ⎜ x + ⎟ + ⎜⎜ q −    ⎟                  2
                                        ⎝    2⎠ ⎝        4 ⎟⎠
                                               mx + n
           mx + n                                               dx
                                                2 ⎛                            p
3.                           dx         ⎛    p⎞        p 2 ⎞⎟             x+     =t              dx = dt
         x + px + q
           2
                                        ⎜ x + ⎟ + ⎜q −                         2
                                        ⎝    2⎠   ⎜     4 ⎟
                                                  ⎝         ⎠
                                                                           1
                                                                               =t,
                       dx                                                 x−a                             − 1dt
4.                                                                                              dx =
     (x − a )          x + px + q
                        2
                                                                             1                             t2
                                                                          x= +a
                                                                             t
                                                                        ax + b
                                                                      n         = t;
         ⎛                                                              cx + d                             ′
                ax + b ⎞                                                                         ⎛ tn −b ⎞
5.   ∫ R⎜⎜ x, n cx + d ⎟⎟dx ,                                        ax + b n
                                                                             =t ;           dx= ⎜⎜        ⎟ dt
                                                                                                         n⎟
         ⎝              ⎠                                            cx + d                      ⎝ a − ct ⎠
          где n ∈ N                                                         tn − b
                                                                       x=
                                                                            a − ct n

                                    Тригонометрические подстановки

        подынтегральное
 №                                                  замена                                 dt
           выражение
 1                 (
           R t, m 2 − t 2           )     t = m sin( z ) или t = m cos(z )
                                                                                  dt = m cos( z )dz или
                                                                                  dt = − m sin( z ) dz
                                                                                       m sin( z )
                                                                                  dt =             dz или
                                                                                       cos 2 ( z )
 2                 (
           R t, t 2 − m 2           )     t=
                                                 m
                                               cos(z )
                                                       или t =
                                                                 m
                                                               sin(z )
                                                                                  dt =
                                                                                         − m cos( z )
                                                                                                      dz
                                                                                          sin 2 ( z )
                                                                                            m
                                                                                  dt =             dz или
                                                                                            2
 3              (
           R t, t 2 + m 2           )     t = m ⋅ tg (x ) или t = m ⋅ ctg (z )
                                                                                  dt =
                                                                                         cos ( z )
                                                                                           −m
                                                                                                     dz
                                                                                         sin 2 ( z )




                                                         53