Электромагнитные волны. Музафаров Л.М - 12 стр.

                              5. ГРУППЫ ВОЛН. ДИСПЕРСИЯ

                           Основные теоретические сведения

    Как уже отмечалось, любую «разумную» волну можно представить как су-
перпозицию определенного набора гармонических волн. И наоборот, складывая
необходимое число монохроматических волн с различными частотами, можно
получить волну любой формы. Математическим обоснованием такой возмож-
ности является Фурье-анализ. В частности периодическая функция F(t) с пе-
риодом T, которой может являться сигнал излучателя волн, представляется в
виде ряда Фурье
                                           ∞                            ∞
                          F (t ) = B0 + ∑ Am ⋅ sin ( mω1 ⋅ t ) + ∑ Bm ⋅ cos ( mω1 ⋅ t ) ,   (5.1)
                                           m=1                          m=1
                                                            to +T
               2π                                       1
где     ω1 =
               T
                  ,     m = 1, 2, 3, …,          B0 =
                                                        T    ∫ F ( t ) dt ,
                                                             to
               to +T                                        to +T
           2                                          2
      Bm =
           T    ∫ F ( t ) cos(mω1t )dt ,         Am =
                                                      T       ∫ F ( t ) sin(mω1t )dt .
                to                                            to
    На рис. 5.1 показана пилообразная функция, образованная с помощью
                                             1 9 1
суммы девяти синусоидальных функций F (t ) = − ∑          ⋅ sin ( mω1 ⋅ t ) и яв-
                                             2 m=1 m ⋅ π
ляющаяся частичной суммой ряда Фурье для функции f (t ) = t T при t ∈ [0, T ] .

         F(t)




                                                                t
    Рис. 5.1. Представление пилообразной функции в виде суммы девяти сину-
соидальных.

    Если же излучаемый сигнал ψ(t) имеет форму отдельного импульса огра-
ниченной длительности, то его можно представить через интеграл Фурье
                                     ∞                              ∞
                            ψ ( t ) = ∫ A ( ω ) sin ( ωt ) dω + ∫ B ( ω ) cos ( ωt ) dω ,   (5.2)
                                     0                              0
где коэффициенты А(ω) и В(ω) равны
                         ∞                                   ∞
                       1                                   1
              A ( ω ) = ∫ ψ ( t ) sin ( ωt ) dt , B ( ω ) = ∫ ψ ( t ) cos ( ωt ) dt .
                       π −∞                                π −∞