ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример 10
Уравнение плоской электромагнитной волны в среде вблизи источника
(при x = 0) имеет вид E(t,x) = E
0
sin(ω
1
t) + 0,5E
0
sin(2ω
1
t), где ω
1
= 3π
.
10
7
рад/с.
Методом графического сложения определить форму сигнала E(t,L), регистри-
руемого приемником, расположенным на расстоянии L = 3λ
СР
в направлении
распространения волны. Для удобства выполнить построение для отрезка вре-
мени от 0 до 2Т. Т и λ
СР
— период и длина волны в данной среде гармониче-
ской компоненты с частотой ω
1
. Принять, что показатель преломления среды
зависит от частоты по формуле
2
0
2
ω
1
ω
n =− , где ω
0
= π
.
10
7
рад/с — так назы-
ваемая плазменная частота этой среды. Поглощением излучения пренебречь.
Решение
Уравнение заданной бегущей волны можно записать в виде
E(t,x) = E
0
sin(ω
1
t–k
1
x) + 0,5E
0
sin(2ω
1
t– k
2
x).
С учетом формулы (5.5) волновое число второй компоненты можно пред-
ставить в виде
21 2 2
22 21
11
ω 2ω 2π
22
λ
СР
nn
kn nk
cc n n
== = =⋅. Тогда уравнение волны
примет вид
E(t,x) = E
0
sin(ω
1
t – 2π
λ
СР
x
) + 0,5E
0
sin(2ω
1
t – 2
2
1
2π
λ
СР
nx
n
⋅ ).
В точке расположения приемника x = L = 3λ
СР
. Кроме того,
1
ω 2π
t
t
T
=
и
уравнение принимаемого сигнала запишется в виде
E(t,L) = E
0
sin( 2π 6π
t
T
−
) + 0,5E
0
sin(
2
1
4π 12π
tn
Tn
− ).
Перед его построением необходимо произвести расчет показателей пре-
ломления по заданной формуле:
272
0
1
272
1
ω
(π 10 ) 1
1 1 1 0,943
9
ω (3π 10 )
n
⋅
=− =− =−≈
⋅
,
272
0
2
272
2
ω
(π 10 ) 1
11 10,986
36
ω (6π 10 )
n
⋅
=− =− =− ≈
⋅
,
и величины
2
1
0,986
12π 12π 12,55π 12π 0,55π
0,943
n
n
===+.
Заметим, что фазовые скорости обеих составляющих волны больше скоро-
сти света (см. формулу (5.6)
). С учетом периодичности синуса уравнение при-
нимаемого сигнала можно упростить
E(t, L) = E
0
sin(
2π
t
T
) + 0,5E
0
sin(
4π 0,55π
t
T
−
) =
Пример 10
Уравнение плоской электромагнитной волны в среде вблизи источника
(при x = 0) имеет вид E(t,x) = E0sin(ω1t) + 0,5E0sin(2ω1t), где ω1 = 3π.107 рад/с.
Методом графического сложения определить форму сигнала E(t,L), регистри-
руемого приемником, расположенным на расстоянии L = 3λСР в направлении
распространения волны. Для удобства выполнить построение для отрезка вре-
мени от 0 до 2Т. Т и λСР — период и длина волны в данной среде гармониче-
ской компоненты с частотой ω1. Принять, что показатель преломления среды
ω02
зависит от частоты по формуле n = 1 − 2 , где ω0 = π.107 рад/с — так назы-
ω
ваемая плазменная частота этой среды. Поглощением излучения пренебречь.
Решение
Уравнение заданной бегущей волны можно записать в виде
E(t,x) = E0sin(ω1t–k1x) + 0,5E0sin(2ω1t– k2x).
С учетом формулы (5.5) волновое число второй компоненты можно пред-
ω 2ω n 2π n2
ставить в виде k2 = 2 n2 = 1 n2 = 2k1 2 = 2 ⋅ . Тогда уравнение волны
c c n1 λ СР n1
примет вид
x n x
E(t,x) = E0sin(ω1t – 2π ) + 0,5E0sin(2ω1t – 2 2 ⋅ 2π ).
λСР n1 λСР
t
В точке расположения приемника x = L = 3λСР. Кроме того, ω1t = 2π и
T
уравнение принимаемого сигнала запишется в виде
t t n
E(t,L) = E0sin( 2π − 6π ) + 0,5E0sin( 4π − 12π 2 ).
T T n1
Перед его построением необходимо произвести расчет показателей пре-
ломления по заданной формуле:
ω02 (π ⋅ 107 ) 2 1
n1 = 1 − 2 = 1 − = 1 − ≈ 0,943 ,
ω1 (3π ⋅ 107 ) 2 9
ω02 (π ⋅ 107 ) 2 1
n2 = 1 − = 1 − = 1 − ≈ 0,986 ,
ω22 (6π ⋅ 107 ) 2 36
n 0,986
и величины 12π 2 = 12π = 12,55π = 12π + 0,55π .
n1 0,943
Заметим, что фазовые скорости обеих составляющих волны больше скоро-
сти света (см. формулу (5.6)). С учетом периодичности синуса уравнение при-
нимаемого сигнала можно упростить
t t
E(t, L) = E0sin( 2π ) + 0,5E0sin( 4π − 0,55π ) =
T T
