Электромагнитные волны. Музафаров Л.М - 6 стр.

то уравнение результирующейr волны определяется какrсумма
                                          r                                 r
                  E = E01 cos(ω t − k1 ⋅ r1 + φ01 ) + E02 cos(ω t − k2 ⋅ r2 + φ02 ) .
      После возведения этого соотношения в квадрат и усреднения, с учетом
пропорциональности (3.2), можно получить формулу для расчета интенсивно-
сти результирующей волны в точке Р                         r r r r
                        I = I1 + I 2 + 2 I1I 2 cos[(k2 ⋅ r2 − k1 ⋅ r1 ) + (φ01 − φ 02 )] ,         (3.3)
где I1 и I2 — интенсивности излучения в точкеr наблюдения при работе источ-
                                                                    r
ников по отдельности. Учитывая, что векторы ki и ri сонаправлены и волновые
                                                               r r rr
числа когерентных волн одинаковы, разность k2 r21 − k1r можно преобразовать к
виду k2 r2 − k1r1 = k (r2 − r1 ) = kΔ . Величина Δ является разностью путей волн.
Часто ее называют оптической разностью хода лучей и, в общем случае, она за-
висит от свойств среды, в которой распространяется волна. Ниже мы рассмот-
рим распространение волн в вакууме или в воздухе, что позволяет не учитывать
этой зависимости. Из свойств косинуса вытекает, что I в (3.3) принимает мак-
симальное значение, когда косинус равен +1. Для этого должно выполняться
условие                   kΔ + (φ01 − φ02 ) = 2nπ, где n = (0, ±1, ±2,...) ,                      (3.4)
которое называется условием максимумов. Соответственно условием миниму-
мов является соотношение
                          kΔ + (φ 01 − φ02 ) = (2n + 1)π, где n = (0, ±1, ±2,...) .                (3.5)
Напомним, что величина Δ зависит от точки наблюдения. Поэтому в простран-
стве наблюдается чередование максимумов и минимумов, называемое интерфе-
ренционной картиной. Часто при удаленной точке Р наблюдения интерферен-
                                            r         r
ции (ri >> d) можно считать, что r1 ↑↑ r2 и Δ = d ⋅ sin θ , где θ — угол направле-
ния на точку наблюдения (рис. 3.1.). Тогда в случае равенства начальных фаз
условие максимумов при интерференции от двух источников запишется в виде
                                     d ⋅ sin θ = nλ при n = 0, ±1, ±2,... .                        (3.6)
      При рассмотрении интерференционной картины от многих источников
удобно складывать уравнения бегущих волн в экспоненциальной форме. Если
точка регистрации Р существенно удалена от области расположения когерент-
                                                                                          r
ных источников (ri >> d), то волны можно считать плоскими, все ri параллель-
                                                                                       r r
ными, а волновые векторы складываемых волн одинаковыми ( ki ≡ k ). Кроме
того, при суммировании удобно представить вектор расстояния через сумму
r r r              r
ri = r + Δ i , где r — вектор расстояния от одного из излучателей до точки на-
                                                                                            r
блюдения (или от некоторой средней точки между излучателями), Δ i — вектор
                     r r
разности между ri и r . Например, при расположении излучателей в цепочку на
                                                                      r     r r r               r    r
одинаковых расстояниях d друг от друга (рис. 3.2) r2 = r1 + Δ 2 , r3 = r1 + 2 Δ 2 ,
r     r       r
r4 = r1 + 3 Δ 2 и т.д. Тогда сумму волн в точке Р можно представить в виде
                         rˆ       r i (ω t −kr⋅rr +φ ) ⎡ r i ( − kr⋅Δr +φ ) ⎤ i (ω t −kr⋅rr )
                        E = ∑ E0i e              i  i
                                                        = ⎢ ∑ E0i e     i i
                                                                             ⎥⋅e              ,    (3.7)
                                i                         ⎣ i                ⎦