Численные методы моделирования свойств нанокристаллов. Нагорнов Ю.С. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Тольятти

Составители: 

Рубрика: 

13
точек таблицы, способ продолжения потенциала и саму таблицу из пар
чисел (x,y).
Эти данные используются при построении функции методом
сплайн-интерполяции и позволяют получать значение функции и ее
производной в конкретной точке.
Предположим, что некоторая неизвестная функция y=f(x) задана
значениями y
1
,…,y
N
в точках отрезка [a, b], причем a=x
1
<x
2
<…< x
N-1
<x
N
=b.
Точки x
1
,…,x
N
, в которых заданы значения функции, называются узлами
интерполяции, а совокупность этих точек – сеткой на отрезке [a, b].
В общем случае для функции y=f(x), заданной значениями y
1
,…,y
N
в
точках x
1
,…,x
N
надо найти приближение y=j(x) таким образом, чтобы
f(x
j
)=j(x
j
), j=1…N, а в остальных точках отрезка [a, b] значения функций
f(x) и j(x) были близкими между собой. Для решения этой задачи можно
использовать один из методов построения интерполяционных полиномов,
но в случае больших N этот метод практически непригоден, т.к. степень
полинома лишь на единицу меньше числа узлов. Можно разбить отрезок
на участки, на каждом из которых будет разумное число точек для
построения полинома, но тогда аппроксимирующая функция может иметь
точки, где производная не является непрерывной.
Кубические сплайны лишены этого недостатка. Исследования в
теории балок показали, что тонкая гибкая балка между двумя узлами
хорошо описывается кубическим полиномом, а поскольку она не
разрушается, то аппроксимирующая функция должна быть по меньшей
мере непрерывно дифференцируемой. Поэтому естественно выдвинуть
требование, чтобы функция y=j(x), аппроксимирующая функцию y=f(x),
была дважды непрерывно дифференцируемой, что означает непрерывность
на отрезке [a, b] непрерывность функций j(x),
'
j
(x),
'
'
j
(x). Кубическим
сплайном на отрезке [a, b] называется дважды непрерывно
дифференцируемая функция y=j(x), на каждом из отрезков D
j
=[x
j-1
, x
j
]
совпадающая с кубическим полиномом и удовлетворяющая условиям
j(x
j
)=y
j
, j=1…N.
Рассмотрим построение кубического сплайна на отрезке D
j
=[x
j-1
, x
j
],
j=2…N. Для этого положим K
j
=
'
'
j
(x
j
), j=1…N. Так как кубический сплайн
совпадает с полиномом третьей степени на этом отрезке, то для этого
отрезка
'
'
j
(x) должна быть линейной функцией. График линейной
функции проходит через точки (K
j-1
, x
j-1
), (K
j
, x
j
), его можно представить в
виде:
()
N...2j;xxh;
h
xx
K
h
xx
Kx''
1jjj
j
1j
j
j
j
1j
=-=
-
+
-
=j
-
-
-
(2.5)
Проинтегрировав это равенство дважды на отрезке D
j
и определив
константы интегрирования, получим аналитическое выражение для
кубического сплайна:

Страницы