Численные методы моделирования свойств нанокристаллов. Нагорнов Ю.С. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГУ | Тольятти

Составители: 

Рубрика: 

14
()
(
)
(
)
[ ]
N...2j;x,xx
6
hK
y
h
xx
6
hK
y
h
xx
h6
xx
K
h6
xx
Kx
j1jj
2
jj
j
j
1j
2
j1j
1j
j
j
j
3
1j
j
j
3
j
1j
==DÎ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
+
+
-
+
-
=j
-
--
-
-
-
(2.6)
Очевидно, что j(x
j
)=y
j
, j=1…N.
Так как функция j(x) является непрерывно дифференцируемой, то в
любой точке отрезка [a, b] левосторонняя и правосторонняя производные
равны между собой. Первая производная сплайна имеет вид
()
(
)
(
)
N...2j;x
,h
6
KK
h
yy
h2
xx
K
h2
xx
Kx'
j
j
j1j
j
1jj
j
2
1j
j
j
2
j
1j
=DÎ
-
+
-
+
-
+
-
-=j
---
-
(2.7)
Коэффициенты сплайна K
1
,…,K
N
неизвестны, так как неизвестна вторая
производная функции j(x). Их можно найти из условия непрерывности
равенства производных слева и справа в точках x
1
,…,x
N
. Найдем для этого
значения левосторонней и правосторонней производной функции j(x) в
точках x
1
,…,x
N
переходом к соответствующему пределу в выражении (2.7),
рассмотренному для отрезков D
j
и D
j+1
. При этом
( )
()
( )
()
1j
j1j
1j
1j
j
1j
xx
xx
j
j
1jj
j
j
1j
j
xx
xx
j
h
yy
K
6
h
K
3
h
x'lim0x'
h
yy
K
3
h
K
6
h
x'lim0x'
1j
j
j
j
j
j
+
+
+
++
D
>
®
-
-D
<
®
-
+--=j=+j
-
++=j=-j
+
(2.8)
В силу непрерывности, имеем
1N...2j,
h
yy
K
6
h
K
3
h
h
yy
K
3
h
K
6
h
1j
j1j
1j
1j
j
1j
j
1jj
j
j
1j
j
-=
-
+--=
-
++
+
+
+
++-
-
(2.9)
Введем величины
1N...2j;1;
hh
h
jj
1jj
1j
j
-=l-=m
+
=l
+
+
. Теперь можно
переписать полученную систему из (N-2) уравнений с N неизвестными
коэффициентами сплайна в виде
1N...2j,
h
yy
h
yy
hh
6
KK2K
j
1jj
1j
j1j
j1j
1jjj1jj
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
-
+
=l++m
-
+
+
+
+-
. (2.10)
Для нахождения решения системы (2.10) необходимы еще два уравнения,
которые можно получить из краевых условий, представляющих собой,
например, значения производной функции y=f(x) в точках x
1
=a и x
N
=b.

Страницы