Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

сходимости ряда (5.2) задана функция
()
zSS = , называемая суммой ряда (5.2), где
(
)
0
zS есть обозначение суммы ряда (5.2)
в точке
0
z .
Пусть
{
}
,,2,1, K=nz
n
– последовательность степенных функций,
{
}
K,1,0,
=
nс
n
– последовательность
комплексных чисел.
Определение. Ряд вида
KK +++++
n
n
zczczcc
2
210
(5.3)
называется
степенным; обозначение
∑
∞
=
0n
n
n
zc .
Любой степенной ряд сходится абсолютно в некотором круге
Rz <
и расходится вне его, т.е. при
Rz >
. Число
R
называется радиусом сходимости степенного ряда.
Радиус сходимости
R можно найти по одной из формул
D
R
1
=
, где
n
n
n
c
c
D
1
lim
+
∞→
= (5.4)
или
K
R
1
=
,
n
n
n
cK
∞→
= lim . (5.5)
В частности формулы (5.4), (5.5) остаются справедливыми:
1) если
0=D или 0=K ; тогда
∞=R
, т.е. областью сходимости ряда является вся комплексная плоскость,
2) если
()
∞+=∞+= KD ; тогда 0=R , т.е. областью сходимости является единственная точка 0
0
=z .
Рассмотрим ряд по степеням разности
()
0
zz − , где
0
z – данное комплексное число:
() () ()
KK +−++−+=−
∑
∞
=
n
n
n
n
n
zzCzzCCzzC
00100
0
.
Его исследование сводится к (5.3) заменой
0
zzZ
−
=
.
Пример 1. Нахождение области сходимости ряда. Найти область сходимости ряда
()
∑
∞
=
+
+
0
2
4
2
n
n
n
n
izi
.
Решение. Имеем ряд по степеням разности
(
)
izZ 2
−
−
=
. Для нахождения области сходимости найдем радиус
сходимости
R. Воспользуемся формулой (5.4), где
4
2
+
=
n
i
с
n
n
,
4)1(
2
1
1
++
=
+
+
n
i
с
n
n
()
.1
4
1
52
1
1
lim
4
52
lim
41
4
limlim
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
=
+
++
=
+
++
=
=
++
+
===
∞→
+
∞→
+
∞→
+
∞→
n
n
n
i
n
nn
i
i
i
n
n
i
c
c
D
R
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Итак, при
12 <+ iz
ряд абсолютно сходится, при
12 >+ iz
расходится. Поведение ряда на окружности
12 =+ iz
требует дополнительного исследования, которое мы здесь не приводим.
Пример 2. Нахождение области сходимости ряда. Установить, что ряд
∑
∞
=
1
!2
n
n
n
n
z
абсолютно сходится во всей
комплексной плоскости.
Решение. Вычислим радиус сходимости по формуле (5.4)
(
)
(
)
()
∞=+=
+
=
+
==
∞→∞→
+
∞→
1lim2
!
1!2
lim
1
!12
!2
1
lim
1
1
n
n
nnn
n
D
R
nn
n
n
n
.
Следовательно, областью сходимости ряда является вся комплексная плоскость.
Пример 3. Нахождение области сходимости ряда. Доказать, что ряд
∑
∞
=
1n
nn
zn обладает единственной точкой
сходимости
0=z .
Решение. Действительно,
0
1
lim
1
lim
11
=
∞
====
∞→
∞→
n
n
n
n
n
n
K
R
, и, следовательно, областью сходимости является
единственная точка
0=z .

Страницы