Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

() ()()()
()
.)2cos22(sin22sin22cos
16
222sin2cos
1616
2
32
2
2
−+++
π
=
=+++
π
−=
++π−=
i
iii
ii
i
e
i
i
Упражнения для самостоятельного решения
1. Вычислить интегралы (рекомендуется первый способ вычисления).
1)
∫
L
dzz
2
вдоль линии
2
ixxz += от точки 0
1
=
z до точки iz
+
=
1
2
;
2)
()
∫
++
L
dzzz 17
2
вдоль отрезка прямой, соединяющей точки:
а)
1
1
=z и iz −=1
2
; б) 2
1
−
=z и iz 4
2
= ;
3)
∫
L
dzz
2
вдоль ломанной, соединяющей точки ,0
1
=
z iz
+
−
=
1
2
, iz
+
=
1
3
;
4)
∫
L
zdz
вдоль дуги окружности
1=z
, 0Re ≥z обходимой против часовой стрелки;
5)
∫
L
dzz
2
3
вдоль дуги окружности
1=z
, 0Re ≥z , 0Im ≥z , обходимой против часовой стрелки;
6)
∫
L
dzzz
вдоль дуги окружности
ϕ
=
i
ez 2
в направлении против часовой стрелки от точки 0
1
=z до точки iz 2
2
=
;
7)
∫
L
dzzz
3
Re
вдоль дуги окружности
4=z
, обходимой против часовой стрелки от точки 4
1
=z до точки 4
2
−
=
z .
2. Вычислить интеграл по замкнутому контуру
L в направлении против часовой стрелки:
1)
∫
+−
L
zz
dz
;
45
2
L:
21 =−z
; 2)
()
∫
−
+
L
zi
dz
zz
e
;
4
2
L:
2=z
;
3)
∫
+
−
L
z
dz
z
ez
;
1
2
L: а)
1=− iz
; б)
1=+ iz
; в)
2=z
; г)
13 =− iz
.
4)
∫
π−
+
L
dz
z
z
;
1cos
22
2
L:
32 =−z
; 5)
∫
π
−
L
dz
z
z
;
3
sin
4
L:
4=− iz
;
6)
()
∫
−
+
L
dz
zz
iz
;
1
2
L:
5
4
1 =−z
; 7)
()
∫
+
+
L
dz
z
iz
;
9
3sin
2
2
L:
13 =+ iz
.
5. РЯДЫ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. РЯД ТЕЙЛОРА
ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Числовые ряды с комплексными членами.
Пусть K,2,1, =+= nviuw
nnn
. Выражение вида
n
wwww
+
+
+
+
K
321
+… или
∑
∞
=
1n
n
w (5.1)
называется числовым рядом. Если существует
число S =
(
)
n
n
www
+
+
+
=
∞→
K
21
lim
, то ряд (5.1) называется сходящимся, а S
называется его суммой. В противном случае ряд (5.1) называется
расходящимся.
Свойства рядов с действительными членами сохраняются и для рядов с комплексными членами.
2.
Степенные ряды. Пусть в области G задана бесконечная последовательность однозначных функций
(){}
K,2,1, =nzu
n
.
Определение. Выражение вида
()
∑
∞
=
1n
n
zu (5.2)
называется функциональным рядом.
При
Gzz ∈=
0
получаем числовой ряд из комплексных чисел
(
)
0
zu
n
. Если получаемый числовой ряд сходится, то
0
z
называется его точкой сходимости, а если расходится – то точкой расходимости. На множестве
GG ⊂
0
всех точек

Страницы