Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3. Ряд Тейлора.
Определение.
Пусть
()
zfw = однозначна и аналитична в круге G с центром в некоторой точке
0
z . Тогда имеет место
разложение в степенной ряд функции
()
zf по степеням разности
(
)
0
zz
−
:
() ( )
(
)
()
()
()
()
...
!!1
0
0
0
0
0
+−++−
′
+=
n
n
zz
n
zf
zz
zf
zfzf
K . (5.6)
Такой степенной ряд называется
рядом Тейлора.
Разложение (5.6) может быть записано в виде
() ( )
n
n
n
zzCzf
0
0
−=
∑
∞
=
,
где
(
)
()
∫
γ
+
−
π
=
1
0
2
1
n
n
zz
dzzf
i
C
;
γ – любая окружность с центром в точке
0
z , обходимая против часовой стрелки и целиком лежащая в области G.
Если
0
0
=z , то ряд (5.6) называется рядом Маклорена.
3. Стандартные разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.
1)
∑
∞
=
=
0
!
n
n
z
n
z
e
; 2)
()
()
∑
∞
=
−
+
−
−
=
1
12
1
!12
1
sin
n
n
n
n
z
z
; 3)
(
)
()
∑
∞
=
−
=
0
2
!2
1
cos
n
n
n
n
z
z
;
4)
()
∑
∞
=
−
−
=
1
12
!12
sh
n
n
n
z
z
; 5)
()
∑
∞
=
=
0
2
!2
ch
n
n
n
z
z
; 6)
()
(
)
∑
∞
=
+
−
=+
1
1
1
1ln
n
n
n
n
z
z
;
7)
∑
∞
=
=
−
0
1
1
n
n
z
z
.
Ряды 1) – 5) имеют областью сходимости всю комплексную плоскость, а 6)-7) – круг
1<z
.
Пример. Разложение функций в ряд с использованием стандартных разложений.
1) Разложить функцию
()
z
ezf
2
=
в ряд по степеням
(
)
iz
−
.
Решение. Представим функцию
z
e
2
в виде
(
)
(
)
iziiizz
eeee
−+−
==
22222
. Тогда, в силу стандартного разложения функции
z
e , получим
()
()
()
+
−⋅
+−⋅+=
−
=
∑
∞
=
...
!2
2
21
!
2
2
2
2
0
22
iz
ize
n
iz
ee
i
n
n
n
iz
.
2) Разложить функцию
()
1
1
+
=
z
zf
в ряд по степеням
(
)
iz
−
. Определить область сходимости.
Решение. Центром круга, в котором будет происходить разложение, должна быть, согласно условию, точка iz
=
0
.
Представим функцию
()
1
1
+
=
z
zf
в виде:
+
−
−−
+
=
++−
=
+
i
iz
iiizz
1
1
1
1
1
1
1
1
1
. Теперь, используя стандартное разложение
∑
∞
=
=
−
0
1
1
n
n
z
z
, получим
()
()
()
()
()
n
n
n
n
i
iz
i
i
iz
i
iz
i
i
iz
i
+
−
−
+
=
+
+
−
+
+
−
−
+
=
+
−
−−
+
∑
∞
=
1
1
1
1
...
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
2
2
.
Следовательно, область сходимости ряда определяется условием
1
1
<
+
−
−
i
iz
, т.е.
iiz +<− 1
,
2<− iz
.
3) Разложить функцию
()
zzzf
2
sin=
в ряд по степеням
z
. Определить область сходимости.
Решение. Запишем функцию в виде
2
2cos1
sin
2
z
z
−
=
. Тогда, используя стандартное разложение
(
)
()
∑
∞
=
−
=
0
2
!2
1
cos
n
n
n
n
z
z
,
получим

Страницы