Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
...
!3
8
!2
4
21...
!2
2
2121
64
2
2
2
222
2
++=−−
+++=−−
zz
z
z
zze
z
.
Так как в полученном разложении коэффициент
02
4
≠
=
C , а 0
3210
=
=
=
=
СССC , то делаем вывод, что точка 0
0
=
z
является нулем четвертого порядка для данной функции.
б) В данном случае удобно использовать условие (6.1). Находим значения производных функции в точке
0
0
=
z :
()
(
)
00,sincossin3
2
=
′
−=
′
fzzzzf
;
()
(
)
010,cossin3cossin6
32
≠−=
′′
−−=
′′
fzzzzzf
.
Следовательно, точка 0
0
=z является нулем второго порядка данной функции.
Упражнения для самостоятельного решения
1. Найти нули функции и определить порядок каждого из них:
а)
()
2345
44 zzzzzf −+−=
; б)
()
()
(
)
19
4
2
2
−+= zzzf
;
в)
()
2
sinzzf =
; г)
()
22
1cos zzzf −−=
.
2. Определить порядок нуля
0
0
=z для функций:
а)
()
)1(
2
2
−=
z
ezzf
; б)
()
zz
eezf
tgsin
−=
.
7. РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ
ТОЧКИ ФУНКЦИИ
1. Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням). Функция
()
zf , аналитическая в кольце
Rzzr <−<
0
,
∞≤≥ Rr ,0
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место
соотношение:
()
() ()
()() () ()
.
...
00
2
0201
0
0
1
2
0
2
0
∑
∞
−∞=
−−
−
−=+−++−+−+
++
−
+
−
++
−
+=
n
n
n
n
n
n
n
zzCzzCzzCzzC
C
zz
C
zz
C
zz
C
zf
KK
K
Коэффициенты ряда вычисляются по формулам:
(
)
()
...,2,1,0,
2
1
1
0
±±=
−
π
=
∫
γ
+
ndz
zz
zf
i
C
n
n
, (7.2)
где
γ – произвольный контур, (например, окружность) принадлежащий кольцу и охватывающий точку
0
z .
Определение. Ряд (7.1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (7.2), называется рядом Лорана функции
()
zf .
Ряд вида
()
∑
∞
=
−
0
0
n
n
n
zzC называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют
главную часть ряда Лорана:
()
∑
−
−∞=
−
1
0
n
n
n
zzC или
()
∑
∞
=
−
−
1
0
n
n
n
zz
C
.
На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции
()
zf – его суммы.
Частные случаи рядов Лорана:
1.
При 0=r получаем частный случай кольца – вырожденное кольцо
Rzz <−<
0
0
(круг с выколотым центром).
Точка
0
z – особая точка функции, и разложение в этом случае называется разложением функции в окрестности особой
точки.
2.
При
∞=R
область
rzz >−
0
есть внешность круга. Разложение в этом случае называется разложением в
окрестности бесконечно удаленной точки и имеет вид
()
()
()
.
10
0
0
∑∑
∞
=
∞
=
−
−+
−
=
nn
n
n
n
n
zzC
zz
C
zf
При построении разложений в ряд Лорана могут быть использованы стандартные разложения и действия над рядами.
Правило разложения рациональных дробей в ряд Лорана
1) Выделяется целая часть в случае неправильной дроби.
(7.1)

Страницы