Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2,
2
2
1
1
2
1
2
1
0
1
<−=
−
⋅−=
−
∑
∞
=
+
z
z
z
z
n
n
n
.
Записываем окончательный результат:
(
)
.21,
2
3
11
3
2
2
1
0
1
1
1
2
<<−
−
=
−−
−
∑∑
∞
=
+
∞
=
−
z
z
zzz
z
n
n
n
n
n
n
Здесь первое слагаемое – главная часть, а второе – правильная часть ряда Лорана в кольце
21 << z
.
Чтобы получить разложение в области
2>z
– окрестности бесконечно удаленной точки, нужно и второе слагаемое
разложить по отрицательным степеням:
1
2
,
2
2
1
11
2
1
0
1
<=
−
=
−
∑
∞
=
+
z
z
z
zz
n
n
n
или 2,
2
2
1
1
1
>=
−
∑
∞
=
−
z
z
z
n
n
n
.
В результате получаем:
()
(
)
.2,
1
3
2122
3
11
3
2
2
1
11
1
1
1
1
1
2
>
+−⋅
=+
−
=
−−
−
∑∑∑
∞
=
∞
=
−
−
−∞
=
−
z
zzzzz
z
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
Заметим, что главная часть ряда отсутствует, так как в разложении присутствуют только члены с отрицательными
степенями.
2.
Изолированные особые точки.
Определение.
Точка
0
z , принадлежащая комплексной плоскости, называется изолированной особой точкой функции
()
zf , если
()
zf аналитична в некотором круге
rzz <−<
0
0
, но не аналитична в точке
0
z .
Изолированная особая точка
0
z функции
()
zf называется:
1) устранимой особой точкой, если
()
zf
zz
0
lim
→
существует и конечен;
2) полюсом, если
()
∞=
→
zf
zz
0
lim ;
3) существенно особой точкой, если
()
zf
zz
0
lim
→
не существует.
Приведем ряд утверждений об особых точках.
Утверждение 1. Для того, чтобы особая точка функции
(
)
zf была устранимой, необходимо и достаточно, чтобы в
разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть.
Это означает, что если
0
z – устранимая особая точка, то ряд Лорана функции
(
)
zf имеет вид:
() ( )
∑
∞
=
−=
0
0
n
n
n
zzCzf ,
rzz <−<
0
0
.
Утверждение 2. Для того, чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть
ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов.
Ряд Лорана функции
()
zf в этом случае имеет вид:
() ( )
∑
∞
−=
−=
nk
k
k
zzCzf
0
,
rzz <−<
0
0
. (7.5)
Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком
полюса. Так, точка
0
z
является полюсом порядка n функции
(
)
zf , если в разложении (7.5) 0,0 =≠
− kn
CС при nk
−
<
.
Утверждение 3. Для того, чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно,
чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана
функции
()
zf в существенно особой точке имеет вид:
() ( )
∑
∞
−∞=
−=
n
n
n
zzCzf
0
,
rzz <−<
0
0
.
Утверждение 4. Точка
0
z тогда и только тогда является полюсом
n-го порядка, когда существует аналитическая в точке
0
z функция
(
)
z
ϕ
, такая, что
(
)
0
0
≠
ϕ
z и
()
()
()
n
zz
z
zf
0
−
ϕ
=
. (7.6)
Согласно (7.6),
0
zz = – полюс n-го порядка для
(
)
zf тогда и только тогда, когда эта точка является нулем n-го порядка для
функции
()
zf
1
.
Пример. Определение типа особых точек. Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

Страницы