Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

а)
()
z
zf
2sin
1
=
; б)
()
5
1
+
=
z
ezf
; в)
()
()
()
4
1
2
2
2
+−
+
=
ziz
z
zf
;
г)
()
z
e
zf
z
1
1
1
−
−
=
; д)
()
z
zzf
1
sin
2
=
.
5. Определить тип особой точки
0=z для данной функции
а)
()
z
z
ze
zf
z
2
11
3
−
−−
= ; б)
()
+=
z
zf
1
1sin
; в)
()
z
z
zf
cos
=
.
8. ВЫЧЕТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В ОСОБОЙ ТОЧКЕ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТОВ
1. Пусть функция
()
zf аналитична в области D за исключением точки
0
z . Разложим
()
zf в окрестности этой точки в
ряд Лорана.
Коэффициент
1−
С в разложении
()
zf в ряд Лорана (в окрестности точки
0
z ) называется вычетом
(
)
zf в точке
0
z и
обозначается )(res
0
zf
z
.
Если γ – произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, расположенный в области D и содержащий внутри себя
точку
0
z , то, согласно общей формуле для коэффициентов ряда Лорана (7.2), получаем
∫
γ
−
π
== dttf
i
zfC
z
)(
2
1
)(res
0
1
.
2. Вычисление вычетов в особых точках.
1) Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Пример. Вычисление вычета в устранимой особой точке. Найти вычеты в особых точках функции
4
2
)cos1(
)(
z
z
zf
−
=
.
Решение. Эта функция имеет единственную особую точку –
0
=
z . Докажем, что это устранимая особая точка:
=
−
=
→→
4
2
00
)cos1(
lim)(lim
z
z
zf
zz
=
0
4
1
2
2
sin
4
1
lim
2
sin2
lim
4
4
0
4
2
2
0
≠=
=
→→
z
z
z
z
zz
, поэтому 0
=
z – устранимая особая точка. Следовательно, вычет в этой точке равен
нулю.
2). Вычеты в полюсах. Изложим полезные для вычислений вычетов утверждения.
Теорема 1. Если
0
z – простой полюс функции
(
)
zf , то
(
)
(
)
[
]
zfzzzf
zz
z
0
0
0
lim)(res
−
=
→
.
Теорема 2. Пусть
)(
)(
)(
z
z
zf
ψ
ϕ
=
, где )(zϕ и )(zψ – аналитические в окрестности точки
0
z функции. Если
0
z – простой
нуль функции
)(zψ , и 0)(
0
≠ϕ z , то
)(
)(
)(res
0
0
0
z
z
zf
z
ψ
′
ϕ
=
. (8.1)
Пример. Вычисление вычета в простом полюсе.
Найти вычеты в особых точках функции
zzf ctg)(
=
.
Решение. Особые точки – те, в которых
,:0sin
π
=
=
kzz
k
...,2,1,0
±
±
=
k . Эти точки являются простыми нулями
знаменателя, так как
01cos)(sin ≠±==
′
kk
zz
zz
. Числитель 0cos
≠
k
z , поэтому точки
k
z – простые полюса. Вычеты
находим по формуле (8.1):
(
)
=
z
k
z
ctgres
=
()
1
cos
cos
sin
cos
==
′
=
k
k
zz
k
z
z
z
z
k
.
Теорема 3. Если
0
z – полюс функции
()
zf
n-го порядка, то
()
−
−
=
−
−
→
)()(lim
)!1(
1
)(res
0
1
1
0
0
zfzz
dz
d
n
zf
n
n
n
zz
z
. (8.2)

Страницы