Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

а)
()
()()
3
2
12 −+
=
zz
z
zf
; б)
()
3
cos1
z
z
zf
−
=
;
в)
()
1
1
−
=
z
ezf
; г)
()
z
z
zf
π
=
sin
.
Решение. а) Изолированными особыми точками являются
2
1
−
=
z и 1
2
=
z . Рассмотрим случай
1
z ; запишем функцию
()
zf в виде:
()
()
()
,
22
1
3
2
+
ϕ
=
+
−
=
z
z
z
z
z
zf
где
()
()
3
2
1−
=ϕ
z
z
z
.
В точке 2
1
−=z функция
(
)
zϕ аналитична, при этом
()
(
)
()
0
27
4
12
2
3
2
1
≠−=
−−
−
=ϕ z . Согласно (7.6) делаем вывод, что
2−=
z
– полюс первого порядка (простой полюс).
Рассмотрим случай
2
z :
()
()
()
()
()
,
11
2
33
2
−
ϕ
=
−
+
=
z
z
z
z
z
zf
где
()
()
2
2
+
=ϕ
z
z
z
.
Функция
()
zϕ аналитична в точке 1
2
=z и
()
()
0
3
1
21
1
2
1
≠=
+
=ϕ z
; таким образом точка 1
2
=z – полюс третьего
порядка.
б)
()
3
cos1
z
z
zf
−
=
. Изолированной особой точкой является 0
=
z . Чтобы определить тип особой точки используем
разложение функции по степеням
z
:
...
!4!2
1
...
!4!2
11
1cos1
42
33
+−=
++−−=
− z
z
zz
zz
z
.
Главная часть разложения содержит конечное число членов, поэтому (на основании утверждения 2) точка 0
=
z для
()
zf является полюсом. Кроме того, в разложении старшая отрицательная степень равна 1, то, согласно утверждению 2,
получаем, что точка
0=z является полюсом первого порядка.
в) Используем разложение функции
()
1
1
−
=
z
ezf
по степеням )1(
−
z :
()
...
1!2
1
1
1
1
2
1
1
+
−⋅
+
−
+=
−
z
z
e
z
.
Из этого представления вытекает, что точка
1
=
z
является существенно особой точкой (см. утверждение 3), так как в
разложении главная часть содержит бесконечное число членов.
г) Особой является точка
0
0
=
z , при этом
π=π
π
π
=
π
→→
z
z
z
z
zz
sin
lim
sin
lim
00
, согласно первому замечательному пределу.
Следовательно,
0
0
=z есть устранимая особая точка.
Упражнения для самостоятельного решения
1. Разложить в ряд Лорана данную функцию
(
)
zf в окрестности данной точки
0
z :
а)
()
2,
4
1
0
=
+
= z
z
zf ;
б)
()
()
;0,
1
1
0
2
=
+
= z
zz
zf
в)
()
iz
iz
z
zf =
−
=
0
,
3
cos
;
г)
()
iz
z
zf ==
0
,
1
;
д)
() ( )
2;
2
1
sin2
0
4
=
−
−= z
z
zzf ; е)
()
0;
2
12
ln
0
2
=
−
= z
z
z
zzf
.
2. Записать все разложения функции
()
32
32
2
2
−+
−−
=
zz
zz
zf
по степеням
z
.
3. Разложить
()
()( )
zz
zf
211
1
−−
=
по степеням
z
в кольце
1
2
1
<< z
.
4. Найти конечные изолированные особые точки функций и определить их тип (для полюсов – указать их порядок):

Страницы