Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

РИС.
2) Правильная дробь записывается в виде суммы элементарных дробей, для разложения которых используется формула
суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
()
1;11
1
1
2
<+−+−+−=
+
qqqq
q
n
n
KK .
При этом элементарные дроби преобразуются следующим образом:
– для получения правильной части, т.е. ряда, сходящегося в круге
Rzz <−
0
, разложение элементарной дроби
записывается в виде
()
()
()
,
1
1
1
00
0
1
0
0
0
∑∑
∞
=
∞
=
+
−=
−
=
−
−
=
−−
nn
n
n
n
n
zzC
a
zz
a
zz
a
zza
(7.3)
где
,
1
1+
=
n
n
a
С
0,
0
≠<− aazz
;
– для получения главной части, т.е. ряда, сходящегося вне круга
rzz >−
0
, разложение элементарной дроби
записывается в виде
()
() ()
;
1
1
1
01
0
1
0
0
0
0
∑∑
∞
=
∞
=
−
+
−
=
−
−=
−
−
−
−
=
−−
nn
n
n
n
n
zz
C
zz
a
zz
a
zz
zza
(7.4)
где
,
1−
−
−=
n
n
aС
,1
0
<
− zz
a
т.е.
azz >−
0
.
Пример. Разложение функции
()
zf в ряд Лорана по степеням
(
)
0
zz
−
.
Разложить функцию
()
2
1
2
−
−
−
=
z
z
z
zf
в ряд Лорана по степеням z.
Решение. Функция является аналитическая всюду, кроме точек 1
1
−
=
z и 2
2
=
z , т.е. разложение нужно вести в трех
областях: в круге
1<z
, в кольце
21 << z
и в окрестности бесконечно удаленной точки
2>z
(рис. 7.1).
В круге
1<z
функция раскладывается в ряд Тейлора. Для этого разложим ее на элементарные дроби. Представим
дробь в виде
()( )
2121
1
2
1
2
−
+
+
=
−+
−
=
−−
−
z
B
z
A
zz
z
zz
z
,
где
A, B – неопределенные коэффициенты, которые находим из тождества
(
)( )
121 +
+
−
=
−
zBzAz . Полагая последовательно
1−=
z
,
2=
z
, получаем ,
3
2
=A
3
1
=B
.
Записываем дробь в виде суммы дробей
()( )
2
3
1
1
3
2
21
1
−
+
+
=
−+
−
zzzz
z
.
Раскладываем по степеням
z
каждую элементарную дробь:
()
()
1,1
1
1
1
1
0
<−=
−−
=
+
∑
∞
=
zz
zz
n
n
n
;
2,
2
22
1
2
1
1
2
1
2
1
0
1
0
<−=
−=
−
⋅−=
−
∑∑
∞
=
+
∞
=
z
zz
z
z
n
n
n
n
n
.
В общей области сходимости
1<z
записываем сумму рядов:
()
∑∑
∞
=
+
∞
=
−−=
−−
−
0
1
0
2
2
3
1
1
3
2
2
1
n
n
n
n
n
n
z
z
zz
z
.
Рассмотрим разложение функции
()
2
3
1
1
3
2
−
+
+
=
zz
zf
в кольце. Первое слагаемое раскладываем в области
1>z
, т.е.
записываем главную часть ряда, второе – в круге
2<z
– правильная часть. Получаем разложения:
() ()
1,1
1
,
11
1
1
1
1
1
1
1
1
01
1
1
><−
−
=
−
=
−−
=
+
=
+
∑∑
∞
=
∞
=
−
+
z
z
zz
z
z
z
z
z
nn
n
n
n
n
;
Y
X
2 1

Страницы