Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

()()
()
() ()
()()
∫∫
=+−+−−=−−−+=
2
1
3232
2
1
2
442121242 dxxxxixxidxixxxixJ
() ()
()
.
3
38
6
616
12
511
12
12
11
12
5
3
4
3
4
12
1
2
43
42
43
212
43
2
43
iii
i
iii
xx
xi
xx
i
−
=
−
=
+
−⋅=
=
+−+−⋅=
+−+−−⋅=
4. Третий способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях – применяется формула
() () () ( ) ( )
12
2
1
2
1
zFzFzFdzzfdzzf
z
z
z
zAB
−===
∫∫
∪
,
где
()
zF – первообразная для
()
zf .
Пример. Вычисление интеграла третьим способом. Вычислить интеграл от аналитической функции:
∫
i
dzz
2
0
2
cos
.
Решение. Здесь
()
zzf
2
cos=
аналитична во всей комплексной плоскости. Первообразную находим, используя
известные из математического анализа методы интегрирования:
()
.
4
4sh
1
4
4sin
2
2sin
2
1
2cos1
2
1
cos
2
0
2
0
2
+=+=
+⋅=+=
∫∫
i
i
i
z
zdzzdzz
ii
В случае аналитических функций рекомендуется использовать наиболее простой – третий способ вычисления
интеграла.
5. Интегральная теорема Коши. Пусть L – замкнутый контур, целиком расположенный в области G. Будем считать, что
L задан уравнением
()
tzz = с непрерывной
()
tz
′
, т.е. контур гладкий (или кусочно-гладкий).
Теорема Коши. Пусть f аналитична в G, и контур L ограничивает односвязную область GD ⊂ . Тогда
(
)
∫
=
L
dzzf 0
.
6. Формула Коши. Пусть функция
()
zf однозначна и аналитична в области G, L – контур, ограничивающий
односвязную область
GD ⊂ и обходимый против часовой стрелки; характер линии L описан в п. 5
параграфа 4. Тогда для
любой точки а, лежащей в D (т.е. расположенной внутри L), имеет место следующая интегральная формула:
()
(
)
∫
−π
=
L
az
dzzf
i
af .
2
1
Кроме того, для любого n в каждой точке Da ∈ существует производная
(
)
(
)
0
zf
n
и для нее справедливо соотношение
()
()
(
)
()
.
2
!
1
dz
az
zf
i
n
af
L
n
n
∫
+
−
π
=
Правило вычисления интегралов по замкнутому контуру от функции комплексного переменного.
При вычислении интегралов вида
()
∫
L
dzzf
, где
()
(
)
()
x
x
zf
ψ
ϕ
=
( )(z
ϕ
– аналитическая в G,
()
zψ – многочлен, не
имеющий нулей на контуре L) можно выделить четыре случая, и всякий раз рекомендуется использовать соответствующий
прием.
1) В области
GD ⊂ нет нулей многочлена
(
)
zψ . Тогда
()
(
)
()
x
x
zf
ψ
ϕ
=
функция аналитическая и, применяя интегральную
теорему Коши, получаем
(
)
∫
=
L
dzzf 0
.
2) В области
GD ⊂ расположен один простой нуль
a
z
=
многочлена
(
)
z
ψ
. Тогда записываем дробь в виде
(
)
a
z
zg
−
, где
()
zg – функция аналитическая в G. Применяя интегральную формулу Коши, получаем
()
()
(
)
()
∫∫
π=
−
=
ψ
ϕ
LL
agidz
az
zg
dz
z
z
2
.
3) В области
GD ⊂ расположен один кратный нуль
a
z
=
многочлена
(
)
z
ψ
(кратности n). Тогда записываем дробь в виде
()
n
az
zg
)( −
, где
()
zg – функция аналитическая в G. Применяя обобщенную интегральную формулу Коши, получаем
2i
0

Страницы