Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4. ИНТЕГРАЛЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
1. Понятие интеграла функции
()
zfw = непрерывной в области G по линии GL ⊂ вводится аналогично понятию
криволинейного интеграла функции действительного переменного. Пусть функция
(
)
zf определена на некоторой кривой L,
кривая предполагается гладкой (или кусочно-гладкой). Дуга AB кривой L разбивается произвольным образом на n частей
точками
n
zzz ,,,
10
K в направлении от A к B, при этом
0
z совпадает с точкой A,
n
z с точкой B.
Интегралом от функции комплексного переменного по дуге
A
B∪
линии L называется предел последовательности
интегральных сумм:
() ( )
∑
∫
=
→λ
∪
∆ξ=
n
k
kk
AB
zfdzzf
1
0
lim
, (4.1)
где
k
ξ – точка, произвольно выбранная на дуге
kk
zz
1−
∪ разбиения кривой;
k
z
∆
– приращение аргумента функции на этом
участке разбиения,
k
k
z∆=λ max – шаг разбиения;
k
z∆
– длина хорды, соединяющей концы дуги
kk
zz
1−
∪ .
При сформулированных выше условиях на функцию
(
)
zf и дугу линии L предел (4.1) существует и не зависит от
способа разбиения
A
B∪
на части точками
k
z и от выбора «промежуточных» точек
k
ξ
.
Имеют место свойства интеграла, известные из математического
анализа.
Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.
2. Первый способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования
A
B∪
задается в
параметрической форме
)(tzz = ) – применяется формула:
() ()()()
∫∫
∪
β
α
′
=
AB
dttztzfdzzf
.
Пример. Вычисление интеграла первым способом. Вычислить интеграл
∫
=
L
dzzzJ
вдоль дуги окружности
4=z
,
обходимой против часовой стрелки от точки
iz 4
1
−= до iz 4
2
=
.
Решение. Окружность
4=z
имеет центр в начале координат и радиус
4
=
r
, поэтому ее параметрические уравнения
имеют вид
=
=
,sin4
;cos4
ty
tx
т.е.
).sin(cos4 titz +⋅= При этом )sin(cos4 titz
−
⋅
=
,
)
=
+
−
⋅= dttitdz cossin4
=
()
dttiti sincos4 + . Подставляя
4=z
, и учитывая, что
22
π
≤≤
π
− t
на дуге
21
zz∪ , имеем
()()
()
∫∫
π
π
−
π
π
−
=+=+−⋅=
2
2
2
2
223
sincos64sincossincos4 dtttidttitititJ
.6464
2
2
iit π==
π
π
−
3. Второй способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных
переменных – применяется
формула:
() ( )
(
)
(
)
(
)
∫∫∫
∪∪∪
++−=
ABABAB
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf ,,,,,
где
()() ()
yxviyxuzf ,, += и
dyidxdz
+
=
.
Пример. Вычисление интеграла вторым способом. Вычислить интеграл
∫
∪
=
AB
dzzzJ
2
Im
вдоль отрезка прямой от точки
iz += 1
1
до 2
2
=z .
Решение. Для точки
1
z имеем 1,1
11
== yx ; для
2
z имеем ,2
2
=
x 0
2
=
y . Запишем уравнение прямой, соединяющей
эти точки:
,
1
1
1
1
−
−
=
− yx
откуда
xy −
=
2
.
Следовательно,
iyxz +=
можно записать в виде
(
)
,2 xixz
−
+
=
;21
≤
≤
x
тогда
()()
2
22
222 xxxixz −−−+= ,
.)1(;24Im
22
dxidzxxz −=−=
Имеем:

Страницы