Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Решение. По формуле (2.6)
iii
ei
Ln−−
= . При этом
2
sin
2
cos
π
+
π
= ii
, значит
.2
2
1
2
2
1lnLn
+π=
π+
π
+= kikii
Теперь
+π=− kii 2
2
1
Ln
, а тогда
Zkei
k
i
∈=
+π
−
,
2
2
1
.
8. Обратные тригонометрические функции определяются как функции, обратные по отношению к синусу, косинусу,
тангенсу, котангенсу.
Значения обратных тригонометрических функций комплексного переменного вычисляются по формулам:
−+−=
2
1LnsinАrc zziiz ; ;1LncosАrc
2
−+−= zziz
zi
zii
z
−
+
−=
1
1
Ln
2
tgАrc
;
iz
izi
z
+
−
= Ln
2
ctgАrc
.
Пример. Вычисление значений обратных тригонометрических функций. Вычислить 2sinАrc .
Решение.
(
)
(
)
(
)
iiiiiii 32Ln32Ln32Ln2sinАrc ±−=±−=−+−= ; здесь
3±
– значения уже арифметического корня
из действительного числа. Поскольку числа
(
)
i32 ± имеют аргументом ,2
2
kπ+
π
то имеем два ответа:
()
+π++ ki 2
2
1
32ln
и
(
)
Zkki ∈
+π+− ,2
2
1
32ln
.
Упражнения для самостоятельного решения
1. Найти все значения корня и изобразить их на комплексной плоскости: а)
2
31 i+−
; б)
4
16−
; в)
3
8
i
; г)
4
3
i
.
2. Вычислить значения: а)
()
6
33 i−
; б)
()
16
22
8
i+−
; в)
2
π
i
e ; г)
3−i
e .
3. Представить в алгебраической форме: 1)
2
sin
2
i
; 2)
(
)
3
8cos i
;
3)
−
π
i5
2
sin
; 4)
+
π
i3
3
cos
; 5)
()
iπ−2sh ; 6)
π
+
4
3ch
i
; 7)
+
5
1
Ln
i
; 8) ))1(2(Ln
−
ii ; 9)
(
)
2
Ln ei −−
; 10)
i
i
+1
; 11)
i2
1
; 12)
i
i
5
)(
−
−
; 13)
()
i3cosАrc − ; 14) 4sinАrc ; 15)
+−
3
332
Аrctg
i
.
4. Решить уравнения: а)
()
iz π=
+
1ln ; б) 01 =+
z
e ; в) ie
z
π=
+1
.
3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Производная функции комплексного переменного.
Пусть
()
zfw = определена в точке
iyxz +=
и некоторой ее окрестности. Пусть x получает некоторое приращение
,x
∆
а y – приращение
y∆
. Тогда
yixz ∆+
∆
=∆
– соответствующее приращение переменной z. Пусть
()
(
)
.zfzzfw
−
∆
+=∆
Определение. Если существует предел вида ,lim
0
z
w
z
∆
∆
→∆
то он называется производной функции
(
)
zf в точке z;
обозначается
()
zf
′
;
.,,
dz
df
dz
dw
w
′
Функция же
()
zf называется дифференцируемой в точке z.
2. Правила дифференцирования. Справедливы правила дифференцирования, известные из действительного анализа.
Например, если
()
,Czf = где const=C (постоянное комплексное число), то
(
)
0
=
′
zf ;
()() ()
const, =
′
=
′
CzfCzCf
и т.п.
3. Условия дифференцируемости. Пусть
(
)
zfw = определена в точке
yixz
и в некоторой ее окрестности. Запишем
()
zf в виде
()()()
yxviyxuzf ,, += .
Необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости
(
)
zf в точке z являются дифференцируемость
функций
()
yxu , и
()
yxv , в точке
(
)
yx, и выполнимость следующих условий Коши-Римана:
∂
∂
−=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
.
;
x
v
y
u
y
v
x
u
(3.1)

Страницы