Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

РИС.
Y
X
6
2
0
w
1
w
8. НАЙТИ
z
И
zarg
, ЕСЛИ
2
1
z
z
z =
, 31,
21
iziz +== .
9. Записать в тригонометрической форме числа
2
1
,3,5,2
4321
i
zizziz
+−
=−==−=
.
2. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
1. Возведение в натуральную степень.
Если
()
ϕ
+ϕρ=+= sincos iiyxz , то для любого натурального числа n имеет место формула:
(
)
K,2,1,sincos =ϕ+ϕρ= nninz
nn
. (2.1)
Другими словами, при возведении в степень Nn
∈
– модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на n.
Пример. Вычисление
n
zw = . Вычислить
(
)
12
31 i+− .
Решение. Найдем модуль и аргумент числа
31 iz +−=
. Имеем
()
231
2
2
=+−=z . Поскольку точка
z
расположена во 2-й четверти, то
(
)
.
3
2
3
3tgarcarg
π
=
π
−π=−+π==ϕ z
Следовательно, в тригонометрической форме
π
+
π
⋅=
3
2
sin
3
2
cos2 iz
. Теперь согласно формуле (2.1) получаем:
()
.40968sin8cos4096
3
2
12sin
3
2
12cos2
1212
=π+π⋅=
π
+
π
⋅= iz
В алгебраической форме
.4096
12
=z
2. Определение. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется число
n
zw =
такое, что zw
n
= .
Для любого комплексного числа
()
ϕ
+ϕρ= sincos iz , 0
≠
z существует ровно n различных значений корня, которые
имеют вид
1,,1,0,
2
sin
2
cos −=
π+ϕ
+
π+ϕ
ρ= nk
n
k
i
n
k
w
n
к
K
. (2.2)
Функция
n
zw =
является многозначной – каждому значению аргумента отвечает n
различных значений корня.
Пример. Вычисление корня n-й степени из комплексного числа. Вычислить и изобразить на
комплексной плоскости значения
3
1 iw −−=
.
Решение. Для
iz
−
−
=
1 имеем
() ()
.211
22
=−+−=z Точка
z
расположена в 3-й
четверти:
.
4
3
4
1tgarcarg
π
−=
π
+π−=+π−==ϕ z
Тогда по формуле (2.2) имеем
.2,1,0,
3
2
4
3
sin
3
2
4
3
cos2
3
=
π+
π
−
+
π+
π
−
⋅= k
k
i
k
w
k
Следовательно,
,
4
sin
4
cos2
6
0
π
−+
π
−⋅= iw
,
12
5
sin
12
5
cos2
6
1
π
+
π
⋅= iw
.
12
13
sin
12
13
cos2
6
2
π
+
π
⋅= iw
Изобразим результаты на комплексной плоскости (рис. 2.1).
3. По определению для всякого
Ry ∈
полагаем
yiye
yi
sincos +=
. Тогда, если
,iyxz
+
=
то значение функции
z
ew =
вычисляется по формуле
yixz
eeew == или
(
)
yiyew
x
sincos +=
. (2.3)
Последнее представление можно понимать как тригонометрическую форму записи w.
Пример. Вычисление значения функции
z
ew = . Вычислить
4
1
π
−
i
e .
Решение. Используя формулу (2.3) получаем
w
2

Страницы