Функции комплексного переменного. Нахман А.Д - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Учитывая соотношения (1.2) получаем формулу для нахождения модуля числа
iyxz
+
=
:
.
22
yxz += (1.3)
Угол ϕ поворота оси OX до совмещения с вектором OZ называется аргументом комплексного числа z и обозначается
zArg=ϕ
.
Заметим, что
zArg
определяется неоднозначно, с точностью до ,2 k
π
Zk
∈
:
Zkkzz
∈
π
+
=
,2argArg .
Если
π≤<π− zarg
, то
z
arg=ϕ называется главным значением аргумента.
При решении задач для вычисления аргумента рекомендуется пользоваться формулой (1.4).
(
)
()
()
==
=<π
=>
<=π−
>=π
<<π−
><π+
>
=
.0,0еслиопределен,не
;0,0если,
;0,0если,0
;0,0,2/
;0,0,2/
;0,0,/arctg
;0,0,/arctg
;0,/arctg
arg
yx
yx
yx
yx
yx
yxxy
yxxy
xxy
z
(1.4)
Пример. приведение к тригонометрической форме комплексного числа. Записать в тригонометрической форме числа
а)
iz −−= 3
; б) iz 3= .
Решение. а) Находим по формуле (1.3) модуль
==ρ z
(
)
()
213
2
2
=−+−= . Так как
03 <−=x
,
01
<
−
=
y
, т.е.
точка
расположена в третьей четверти, то по (1.4) получаем
=+π−=ϕ
3
1
arctg
6
5
6
π
−=
π
+π−=
. Записываем z в
тригонометрической форме (см. соотношение (1.1)), учитывая, что
()
α−=α coscos ,
(
)
α
−
=
α
−
sinsin :
π
−
π
⋅=
6
5
sin
6
5
cos2 iz
.
б) Находим модуль
330
22
=+=z . Для числа iz 3
=
имеем
03,0 >
=
=
yx
(точка расположена на оси ОY), тогда по
формуле (1.4)
2
π
=ϕ
. Получаем тригонометрическую форму
π
+
π
⋅=
2
sin
2
cos3 iz
.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Изобразить данные и сопряженные к ним числа точками плоскости
а)
i+1 ; б) i32 −− ; в) 5 ; г) i21
+
− ; д) i4− .
2. Вычислить
a)
()( ) ()
iii −++−+ 5Im342 ; б)
i
i
i
i
+
+
+
2
543
; в)
ii
i
i
43
6
37
+−−
−
;
г)
()
i
ii
2
1
32Re
2
−+
; д)
2
))2(2( ii −
; е)
()()
2
3
43Im
4
−−
+
ii
i
i
.
3. Доказать равенства
а)
i
i
i
i
2525
4113
43
6
+−
+
=
+
−
; б)
3
32
79
Re =
−
−
i
i
;) в)
222
4 zzzzz =−++
.
4. Что можно сказать о двух комплексных числах, если их сумма и разность одновременно представляют собой: а)
действительные числа;
б) чисто мнимые числа?
5. При каком действительном значении
а
выражение
(
)
5123
23
+−+− iaaii
будет числом: а) действительным; б)
чисто мнимым; в) равным нулю?
6. Найти комплексное число
z
из уравнения
()
izi 5132
−
−
=
−
.
7. Найти модуль и аргумент (главное значение) комплексных чисел
iz 31
1
−= , iz 21
2
+= ,
(
)
iz 21
3
+= , 21
4
−=z .

Страницы